方程與函數在數學教學中的幾點思考

王旭升

摘 要:方程和函數的教學在中小學的數學課程中一直占據著非常重要的地位,它不僅就這一階段的學習來說有著基礎性的重要功能與廣泛的實際應用,而且對于學生的后繼學習也有著舉足輕重的作用。本文理清方程與函數的概念,提出在這部分教學過程中引入循序漸進、注重實際、挖掘內涵等手段,并把傳統教學方法和現代教育技術相結合來達到提高教學效果的目的。

關鍵詞:方程 函數 教學

方程與函數的思想是指在解決某些數學問題時構造適當的方程和函數,把問題轉化為研究輔助函數與輔助方程性質的思想。另外,方程與函數的概念,反映了客觀世界運動和變化的一些規律,因此它的教學思想可以培養學生數學思維的意識和方法以及解決實際問題的能力。

學生對函數的理解與認識深深扎根于對數學內部函數本身各種抽象性質的理解之中,同時比較關注知識的形式化,教材內容理論性與技巧性強,較為完整地表現出知識的整體結構,對具體函數的研究挖掘較深。針對以上不足,為適應現代素質教育的要求,本文將我在教學過程中用到的一些方法與大家進行交流和探討。

一、重視方程和函數概念的提前滲透,循序漸進,逐步提高

采用螺旋式上升的方法,注重數學的背景知識,及早滲透,關注函數與其他數學知識的聯系,推遲或淡化函數的形式化表現。要求學生認識理解數值函數的定義:n→n+a與n→n×a以及它的近似解,并要求對方程的含義有深刻了解,對未知數不用字母表示,只要求認識類似10.5+()=23.6或24×()=480的方程,并用圖表來描述情景。

九年制義務教育階段的數學課程是緊密圍繞“數”“量”“形”和“關系”四條主線來設置的。在由“關系”組成的內容中,從四年級就開始接觸函數關系的初步概念,要求了解兩個量變化的關系,用表、折線、圖來表示兩個數量變化的情況,用式子簡潔地表示數量關系。到了初一,要求從事物現象中,取出伴隨變化的兩個量,研究它們的關系,明確它們的特征,理解包括變化和對應、坐標的意義以及用數表、圖象、解析式表示的各種函數關系。初二要求理解一次函數的特征,并提高應用函數的能力,初三主要研究二次函數的變化特點與變化率。高中階段研究二次函數的一般形式、各種常用的初等函數以及微積分初步,作為函數教學的深入與延伸。

二、強調與現實世界的聯系,注重實際應用,培養學生數學思維和解決問題的能力

重視教學與現實世界的聯系,這是大多數國家數學課程和教材的共同特點。瑞典的課程標準認為“數學課的根本目的是使所有學生獲得解決他們日常生活中遇到的數學問題的能力”。法國的教學大綱也指出:“教學更重要的是學生應該運用所學的知識解決自己在實踐中遇到的問題。”德國的數學教學計劃中,要求使學生“有能力在其他學科和日常生活中解決數學問題”。在小學的應用題教學中,除了要求引進開放性問題,還強調貼近學生生活。初中的方程教學中應該結合物理學中的混合、運動問題,地理學中的降水量、溫度問題,交通教育中的路程、過河問題。學習函數:x→ax+b時,要求聯系物理中的霍克定律、經濟學中的利息、外匯換算、化學中的定量計算、信息學中的圖表等。

美國五~八年級課程標準的中心議題是研究模式與函數,重點是函數的探索,這種研究和探索,要求學生認識、描繪以及概括模式,并且建立數學模型來論斷通過觀察模式所展示出的真實世界中的現象。

三、注重挖掘方程與函數概念的內涵,滲透數學思想以及問題解決的策略

許多國家把函數思想作為貫穿中小學數學的一個重要內容。在小學階段,函數作為數的運算出現,例如,兩個數的和看成是一個數與兩個數的對應;在代數中,函數表示在運動下的一個點集到它的象集的變換,比如,對稱、平移和旋轉等;在概率中,函數表示事件發生與可能性之間的關系。抓住函數的本質是一種規則或法則,因此,同一個函數可用多種方法表示。

另外,通過方程問題的教學,引導學生學習和掌握問題解決的策略,也是我們在數學教育中應該考慮的問題。

四、充分利用現代教育技術,發揮計算器和計算機的功能

現代教育技術的利用,特別是功能較強的計算器的使用,使大量繁瑣、重復的操練得到了簡化,從而大大提高了教學的效率。另外,求方程的許多技巧以及函數中求定義域和值域一類的問題也大大淡化,取而代之的是增加了方程的數值計算和函數圖象的有關內容。

比如,由于計算器與計算機的廣泛使用,引起了教學內容的變革。在解方程的方法中,引入了“迭代法”“嘗試改進法”,而二次方程的求根公式相對放在較后的位置。函數教學中,通過在計算器或計算機上生成各種常用初等函數的圖象,對比作出理解和解釋,大大提高了教學效果。在高中數學課程中增加用計算機求解線性方程組的迭代法。作為一般的一元方程的近似解法,介紹“牛頓法”和“二分法”。這些變化可以用幾何的變換來描述,由此提供了幾何與代數的另一個聯系。

總之,方程與函數的思想方法是中學數學中十分重要的一種思想和方法,也是高考中考查的重點。因此,我們要重視和學會運用這一方法去分析問題、轉化問題和解決問題,強化方程與函數的思想方法的應用意識和基本訓練,以適應高考新的變化和要求以及培養新世紀高素質人才的需求。

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作者單位:甘肅蘭州西北師范大學教育學院