“中位數”教學紀實、反思與評析

王開杰　李　燕　蘆　莉

教學內容:人教版5年級上冊第6單元。

教學目標 :

1.在具體情境中認識中位數、學會求一組數據的中位數,理解中位數的統計意義。

2.體會“中位數”與“平均數”的各自特點,了解兩者之間的聯系與區別;能根據數據合理選擇統計量。

3.感受統計在生活中的應用,增強統計意識,發展統計觀念。

教學重、難點:

感受統計在生活中的應用,認識中位數,學會求一組數據的中位數,理解中位數的統計意義。能根據數據的具體情況合理選擇統計量。

教學過程:

一、情境設疑,引出問題

1.談話引入。

師:今天這節課我們要先去人才招聘市場看一看。這是一則貼出來的招聘啟事,請一名同學來讀一下。招聘業務員,同學們應聘工作最關心什么?

生:工資。

師:掙多少錢,很實際的問題。接著看。

課件出示:

甲公司:我公司職工的月平均工資是1 600元。

乙公司:我公司職工的月平均工資是1 500元。

師:你選哪家公司?

生:甲公司。

師:為什么?

生:甲公司的平均工資比乙公司的高!

師:你呢?

生:我選乙公司。

師:說說你的想法。

生:甲公司掙得多,可能干的也多。

師:這是你的想法。

2.觀察辨析。

(課件出示兩家公司工資詳細報表。)

師:這是兩家公司職工工資詳細報表,仔細觀察表中的數據,你有什么想說的嗎?同桌之間先互相說一說。

甲公司職工月工資報表

乙公司職工月工資報表

生:這回我選乙公司。

…………

師:為什么又都變了?

生:乙公司好些,7個人的工資都在1300以上,甲公司只有1個人。

生:應聘業務員顯然乙公司要好一些。應聘經理我就選甲公司。

師:甲公司的平均工資比乙要高,可一般水平卻遠不如乙公司,根本原因在哪呢?

生:甲公司的經理掙得太多。

生:因為這里的經理工資把一般水平提上去了。

師:像4 200這樣在一組數據中出現的嚴重偏大或嚴重偏小的數據我們把它叫做極端數據。(板書。)當出現極端數據時,我們使用平均數作為數據一般水平的代表就——

生:不合適。

師:那么用誰來代表這一組數據更合適呢?請同學們比一比,試著從這組數據中找出一個更合適的來。

【設計意圖:本環節的設計重在通過生活中的例子,制造學生認知上的矛盾沖突。讓學生充分地感受到生活中可能存在的平均數誤導現象,繼而激發學生探索新的數據代表的興趣,為學習與探究新知作鋪墊?！?/p>

二、學生探究,認識新知

1.師:好,誰來說一說你選擇的是哪個數?

生:我選1 200。

師:為什么選1 200?

生:1 200在最中間。

生:1 200不大也不小。

生:我選1 300。

生:我也選1 300,因為1 300更接近于1 600這個平均工資。

生:我也選1 300,因為4 200太大了,而其他的又太小。

師:的確,像大家所發現的那樣,這里用1 200代表這組數據的一般水平更合適。一組數據按順序排列最中間的一個數,我們把1 200叫做這一組數據的中位數。(課件出現中位數。)今天我們就來學習中位數。(板書——中位數。)

師:知道了什么是中位數,下面我們就來做幾道找中位數的練習。

【設計意圖:這里的設計重在通過統計圖直觀形象的演示,引導學生發現數據的特點,進而加深學生對于中位數所表示的統計觀念的再認識。開放的交流與研討的空間是這一環節教學意圖達成的關鍵,而教師針對性、策略性的引導也必不可少?！?/p>

2.找中位數。

師提要求:打開練習紙自己解答,遇到問題可以舉手示意老師,也可以在小組內交流。

(1) 44、 38、 30、 28、 24、 22、 20

(2) 5、 10、4、13、 15

(3) 26、22、16、13

(4)15.8 、16.4 、16.8 、19.2

師:誰來說一說,大家注意判斷。第1題。

…………

師:第2題。

生:4。

師:有不同想法,你說說。

生:應該是10,因為在找的時候要按順序排列,再找中間的數據。

師:你同意嗎?大家呢?

師:接著看,剛才有的同學在第3題遇到問題了。誰來說說你的問題。

生:這里面是4個數,沒有最中間。

師:其實能發現問題,大家已經成功了一半。

生:我選16,更接近于中間。

生:我說18,因為沒有中間的一個數,而18差不多大。

生:中間有兩個數,可以求它們的平均數。(板書。)

師:通過剛才找中位數的練習,你對中位數又有了哪些深入的認識?

生:找一組數據的中位數,要先把這組數據按大小順序排列。

生:按順序排列后,中間的一個數就是中位數。

生:中位數正好把這組數據分成了兩部分,左右兩邊數的個數一樣多。

師:會學習的孩子一定是一個善于總結的孩子。

三、比較促思,深化新知

師:我們還是回到前面的例子中來,甲公司工資中出現了極端數據,我們選擇中位數1 200來代表其工資一般水平。那乙公司呢?

生:中位數。

師:乙公司的中位數是多少?

生:1 500。

生:這里的中位數和平均數都是1 500,所以哪個都行。

師:中位數與平均數相同或相差不多的原因在哪呢?

生:這里沒有太大或太小的數據。

師:當一組數據之間相差不是很大時,我們說這組數據呈現的是一種正態分布,這時用哪一個來做代表都可以。

師:那么在比較公司工資情況時,我們應該怎樣做呢?

師:隨著學習逐步深入,我們不難發現數學知識在生活中的應用還有很多。

四、綜合運用,拓展新知

1.身高中位數。

師:舉個例子,請這5名同學到前面來站好。該用什么數來代表這5名同學的身高的一般水平?

生:平均數。

生:中位數。

師:為什么呢?

生:因為同學們之間的身高相差不多。中位數與平均數也會差不多。

(師請回1名同學,自己加入進來。)

師:現在我們5個人身高的一般水平用什么數來表示更合適?

生:中位數。

師:為什么?

生:因為老師的身高是一個極端數據。

(師蹲下。)

師:我的身高現在只有這么高。

生:中位數。

師:又是為什么。

生:因為老師的身高又成為了一個極端數據。

2.成績中位數

師:李靜同學的1次數學考試的成績是55分。(生笑。)

師:怎么你叫李靜!純屬巧合。那我們改一下,換下角色,王開杰同學的1次數學考試的成績是55分,請各位老師來評價一下王開杰的學習水平。

生:學得不怎么樣。

生:成績不太好。

師:下次我一定努力。

生:我覺得一次沒考好,不能就說學習不好,也可能是因為其他因素,還應該多看幾次考試?？赡苤皇悄氵@一次沒考好。

師:貴姓?

生:我姓*。

師:*老師,知道為什么和你握手嗎?

生:不知道!

師:能遇到你這樣的好老師我太幸福了!

師:(出示5次數學考試的成績。)一次考試定終身,一張試卷說成績的評價方式應該改革。這是我5次數學考試的成績93、96、94、97,第5次考試由于生病帶病堅持考試所以只得了55分。

師:下面請大家看要求,完成習題二。該用什么數值來評價一下李華的學業水平。自己想想、算算。

(學生計算、匯報,交流選擇的理由。)

生:平均分是87分,中位數是94分。

生:應該用94分代表,也就是中位數。

生:首先我們先把數據排一下序,97、96、94、93、55(板書),中位數是94。為什么呢?因為這里有個極端數據55,它會拉下平均分。

生:老師我認為應該用93分,因為平均數太低了,而94又高了些,而93更接近于平均數,也不會太高。

師:這是你的想法。但在出現極端數據的情況下我們一般采用中位數。

師:剛才我看到一位同學的方法是這樣的。他是先去掉最低的55分,然后又去掉97分,你是怎樣想的?

生:我是先去掉最高分又去掉最低分,再求平均數的方法。因為歌唱比賽就用這樣的方法。

師:你是一個留心觀察的孩子,這種方法在生活中的一些比賽評分應用十分廣泛,叫做去尾平均數,其實它恰恰是中位數與平均數優點的綜合。先去掉極端數字,再考慮剩余數字。

師:如果最后一次的考試的分數發生變化,中位數會發生變化嗎?小組4個人交流一下。

生:大于94分中位數就變,小于或等于94分中位數不變。

師:其實恰恰是中位數受數據變化的不是十分敏感,所以有時候我們會采用它來做數據的代表。

3.年齡中位數。(機動練習:思考我國國策和社會發展進步問題。)

【設計意圖:上面習題的設計,重在體現數學知識源于生活又應用于生活的教學理念。學有所用的基礎上更關注問題的生成性,生活數學中知識的延展性(即潛移默化的統計觀念的理解與再認識)及師生的互動性。還有一點就是關注統計知識、數學思想對于社會的更廣泛影響。】

結語:同學們,無論是今天我們認識的中位數,還是以前學習過的平均數,還有去尾平均數其實都只是一種數據代表的方法,一個看問題的角度。面對紛繁復雜的事物還需要我們擦亮眼睛、小心選擇,具體問題、具體分析。

反思:

什么是成功的一節課?一千個人眼中可能有一千種成功的樣子。別人眼中的成功與否,終究是外在的評價,內心的定位才更應成為成功又或是下一次成功的標尺。這里自己對這節課下不成功的定義主要源自于自我預設與實際生成的較大差距,理想與現實的心理落差,還有更多的那就是對于知、行難于統一的困惑。

·客觀因素

如果從課堂教學的角度來講,教師、學生、教材(教學資源)顯然是最重要的組成部分,形同三角形的三條邊又或是三個角,相互依存、相互聯系、缺一不可。但要從教師反思的主觀角度來講,自然又要把學生與教材化為客觀因素。表述這些不是為課堂效果的不理想而開脫,更多是找尋問題、力求解決的一種思考,也算是一種認真對待科學的態度吧。

知識背景:“中位數”人教版5年級上冊內容(新加入的內容),是在學生學習了統計表與條形統計圖和平均數統計量的基礎上引入的。但不知道它在小學階段的存在是不是僅僅是曇花一現,因為據傳課標修訂稿中又準備再將其調整回第三學段。

知識應用與學生定位:較平均數的普遍應用與在大多數人心目中的根深蒂固相比而言,中位數這一統計量就顯得鮮為人知,少有人用。由具體形象的一組數據再到抽象到選擇一個數據作為代表,這顯然和學生心目中對于全員參與的總數與平均數的思維難度是不對等的。學習者須要經歷一個反復的比較、辨析、取舍甚至是強化的過程,更難的是這看似打破舊有觀念(平均數),實則只是開啟一扇新窗的過程,要做到具體問題具體分析,合理的選擇數據的代表來解決問題的最高境界著實不容易。

以上的分析在教學預設時我就有了較清醒的認識,但對于這樣一個內容的存在就一定要面對。如何把認識到的困難轉化為合理、高效的教學行為就成為了解決問題的關鍵,這一點自己的確做得還不夠、想得還是不夠深入,從而也就產生了一些問題。

·主觀因素

教學策略的選擇:面對前面自己是有預見的客觀因素,自我的重視不夠,所以在策略的選擇上更多地追求自主、探究的新型學習方式,結果反倒是畫貓不成反類犬,在學生苦思無果的情況下反倒還要不斷地引導、提示。

例如:在對待極端數據出現的甲公司的這一組數據,平均數已經不能很好地說明問題時,讓學生自己再來選擇一個數據(中位數)作代表的環節。

我的處理是完全放手讓學生去交流尋找,期望學生能夠選擇1 200,但在學生實際的分析比較中,學生卻很難達成一致選擇1 200,有不少學生會選擇1 300或1 250,與學生交流時他們也提到了選擇其他數據是因為更接近于平均值,這里面的學生顯然是受到了表象上的極端數據以及舊有的平均數的認知的影響,當然這里面還有學生對于“一組數據選用一個數據來代表”的理解上的困惑與認知難度。

而當面對學生選擇其他數據不小的呼聲時,教師就必須要引導、講解,或者更多的還是糾正,再讓學生分析數據所處的位置,比較前后的個數。可以說這樣的一個放的環節,不但沒起到探究、發現的培養,反而是事與愿違,造成了學生對于平均數更多的關注。面對這樣的情況我自己也在思索,對學生理解認識上的難度,如果先給學生結果(中位數),再引導其思考選這個果的原因,是不是這樣的與探究更有實效與針對性。這也未嘗不是一種思路。

又如:找中位數的練習26、22、16、13。

面對偶數個數據時學生找中位數遇到了困難,我也一味地開放,期待學生自己得出并說出方法,反復提問無果,學生也有些不知所措,而面對答出的學生又像是救命稻草一樣牢牢抓住。其實莫不如適時地講解直接引入求中間兩數平均數的方法來。

調動能力的缺失:面對陌生的會場,有些怯場的學生,枯燥的數據,顯然這一切已經遠離了熟悉溫暖舒適的自我課堂,及時地調整與調動就顯得至關重要,這不僅是對學生的,更多需要的是來自于教師自身。理性的課堂決不排斥充滿感染力的語言與激情的心,數學的思考更會因此而生動多彩。而這堂課自己在這方面表現的缺失也必然造成了后面課堂更加舉步維艱。

自我目標的定位:“力求呈現自己對于數學課堂的思考,拓展數學思維的廣度與深度,注重學生數學思想與方法的培養與訓練?！边@都是我努力想通過課堂實踐去詮釋的,繼而自然在自己的設計中就納入了更多、更高的期望。在中位數學習的第一課時,在基本目標的基礎上自己又附加了諸多思考“要培養統計觀念、要尊重事實、要用數據說話、看問題不可絕對化,事物發展有規律更要承認個案……”當一切變得都重要時,一切也就都不重要了,本來簡單的事物被賦予眾多復雜的使命時,它也就連基本的使命都沒有了。

課堂的達成與期望,顯然不應該只建立在一個教師的角度之上,真正的落腳點顯然應該是學生知識經驗與認知水平以及知識的循序漸進與水到渠成。

知難、行難,統一更難。面對這些,路還很長……

教學評析:

王開杰老師執教“中位數”一課,我首先欽佩他的勇氣。很多教師對中位數都會感到陌生,更不要說學生,對于這樣一個學生舊有知識經驗甚少的教學內容,教師應如何進行有效教學是我們之前網上討論最激烈的部分?；拥倪^程中,王老師在《沒有最好,只有更好》一文中反思到統計教學突出的是數據的統計意義,即在數據分析觀念中,就是沒有絕對意義上的對和錯。不是學習了新的數據代表就否定其他的數據代表。在現實生活中用中位數也可以,用平均數也不算錯,只是多給學生一種思路,換一種看問題的角度。這樣就模糊了“中位數引入必要性”的認識,同時也加大了教學的難度。所以,中位數教學的突破,并不在于以何種方式教學生學會選取中位數,而在于讓學生理解“為什么有極端數據時,描述一組數據的一般水平,中位數比平均數更合適”。

應該說,王開杰老師采用兩個教學策略很好地解決了這個問題。

1.對比策略。

王老師提供給學生的學習素材比教材的更適合學生的學習,富有挑戰性的問題隨著情節的發展,一環緊扣一環地不斷生成。他將求中位數與平均數的方法融入一個情境之中,隨著兩個公司員工工資的發展變化,自然引出中位數的概念。課始精心創設招聘廣告為主線的情境貫穿在新課內容之中,先給出平均工資,讓學生據此選擇哪個公司好。在舊有知識的基礎上,學生一定自然傾向于平均工資高的公司,然后再呈現具體數據,通過觀察、比較,學生自然會引發強烈得認知沖突,用平均數衡量工資顯然不精確。通過追問“當一組數據中出現個別嚴重偏大的數時,平均數會受到影響,變得比較大。在這種情況下應聘時,把平均數當做工資一般水平的代表不合適。那么用誰來代表更合適呢?”學生通過比一比,找一找,產生認識新的統計量的欲望,感受到平均數在實際應用中的局限。在這里面平均數與數據之間的矛盾,以及引入一個新的數據代表中位數需要,王老師都強調的十分突出。我認為這樣設計是把對中位數的認識建立在中位數與平均數的比較之上,學生在“確信——驚詫——質疑——釋然”的情感的跌宕起伏中經歷錯誤和辯證,體驗知識生成的歷程,建構了“有極端數據時,用中位數代表該組數據的一般水平比平均數更合適”的理解,同時可以更清晰地認識到兩者各自的特點,從而對其有更加全面的把握,使學生真正地做到了知其然又知其所以然。王老師在練習環節也注重了比較的數學思想的滲透,如通過老師的直立與蹲下的比較身高中位數,平均數與中位數區別的對比練習,使學生清晰地理解到應用哪個統計量來表示身高水平。

2.數形結合。

在呈現兩個公司的工資具體數據后,王老師把統計表與條形統計圖結合起來呈現,充分利用了條形統計圖的直觀性開展教學。王老師結合條形統計圖讓學生觀察。學生能清晰地發現甲公司的經理工資特別高,把平均工資抬高了,用平均工資來代表這個公司的工資一般水平已經不太合適。有了條形統計圖,學生對數的感覺會變得直觀起來,為后面深入理解中位數的適用范圍打下了基礎。

另外,王老師的現場調控能力很強。如:臨時更改學習素材中的人名,針對學生的回答進行發展性的評價,都可見王老師的教學功底扎實深厚。

再成功的教學也不會是十全十美的,我們無法預知現場的生成。這里有一個問題想與王老師進行商榷:在教學數據出現偶數個時應如何求中位數的環節時,學生通過討論后總結方法,一名學生匯報說:這個方法是與王老師交流后得知的。我想這個問題是不是全班共性的,如果是可不可以先請學生大膽地猜想,充分暴露學生的思維后,再由老師引導求法;或引導學生自學教材,由學生自主學習這部分知識是不是更好?

瑕不掩瑜,最后讓我用吳正憲老師的一句話結束本次的評課,同時我也把這句話送給所有的數學老師:做夯實知識基礎的教師,做教出數學味道的教師,做教出數學品位的教師,做教出數學境界的教師,做教出人文精神的教師。