對初中數學開放題的認識及歸納

摘要: 時代呼喚教育工作者要轉變教育觀念，改革人才培養模式，激發學生獨立思考和創新的意識。開放性問題的教學為學生提供了廣闊的交流空間，對教師也提出了更高的要求。

關鍵詞: 初中數學問題解決開放題創新

在較長一段時間內，“問題解決”成為我國數學教育界的重要議題，現在把議題轉移到開放題上來，可以認為是“問題解決”研究的進一步深入。

一、什么是開放題

開放題是相對于中學課本中有明確條件和明確理論的封閉型問題而言的。所謂開放型數學題通常指答案不確定或條件不完備，或具有多種不同解法，或有多種可能的解答等類型的數學問題。其顯著特征是:答案的多樣性(多層次性)。這類問題的知識覆蓋面較大，綜合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構思精巧，具有相當的深度和難度。它要求學生運用已學過的知識，通過觀察、歸納、探索和綜合等推設過程才能得出結論，重在考察學生的分析能力，探索能力和思維的發散性。

二、初中數學教學中引入開放題的必要性

《全日制義務教育數學課程標準》(實驗稿)指出:“動手實踐，自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式”，學生要有充分從事數學活動的時間和空間，在自主探索、合作交流的氛圍中學習知識。由于學生的思維活動是開放的，數學思考的過程應是多樣的，因此，數學教學必須以學生的發展為本，發揚教學民主，尊重學生的思維，使我們的教學走向開放。而數學開放題以其新穎的問題內容，生動的問題形式和問題解決的發散性，給學生發揮創造思維提供了廣闊的空間，為培養學生的創造能力提供了良好的載體。

三、開放題的類型

1.條件開放性問題

條件開放題的明顯特征是缺少確定的條件，問題所需補充的條件不能由結論完全推出。一般來說，條件開放型問題的標準答案包括:將所缺的條件補充完整，對根據自己所給條件形成的封閉題做出完整解答兩部分。解此類題的基本策略是執果索因，尋找結論成立的條件。

例1.如圖1，D、E點在線段AB、AC上，BE、CD相交于O點，AE=AD要使△ABE≌△ACD需添加一個條件是()。

簡解:∠B=∠C，∠AEB=∠ADC，∠CEO=∠BDO，AB=AC，BD=CE(任選一個即可)

(1)若選∠B=∠C，則∠A=∠A，AE=AD，△ABE≌△ACD(AAS)。

(2)若選∠AEB=∠ADC，則AE=AD，∠A=∠A，△ABE≌△ACD(ASA)。

(3)若選∠CEO=∠BDO，則∠B=∠C，以下與(1)相同。

(4)若選AB=AC，則∠A=∠A，AE=AD，△ABE≌△ACD(SAS)。

(5)若選BD=CE，可得AB=AC，以下與(4)相同。

評析:此例屬于數學完形填空題，其特點是命題中結論明確，需要完善使論證成立的條件。這是各地中考試卷多次出現的條件探索性開放型試題，解答此類問題，一般從結論出發，設想出合乎要求的一些條件，逐一列出，逐一推導，從中找出滿足題意的條件。

2.結論開放性問題

此類問題的基本特征是有條件無結論，缺少確定的結果，或結論正確與否常需要進一步證明確定，或在給定的條件下結論不唯一。這類題目不同水平的考生可作出不同的回答，既能充分反映考生思維能力的差異，又能促使考生的思維發散。

例2.如圖2正方形ABCD繞點A逆時針轉n°后得正方形AEFG，邊EF與CD交于O點，以圖中已標有字母的點為端點連接兩條線段(正方形對角線除外)，要求所連接的兩條線段相交且互相垂直，并說明兩條線段及相互垂直的理由。

評析:答案不唯一，主要利用等腰三角形的三線合一，猜證AO⊥DE。

證明:在Rt△ADO與Rt△AEO中，AD=AE，AO=AO，

∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，

∴∠DAO=∠OAE(即AO平分∠DAE)，

∴AO⊥DE(等腰三角形的三線合一)。

評析:本題是近幾年中考的新型題，是對三角形形狀、性質、判定及勾股定理、等腰三角形的三線合一的考查。對于結論不確定的問題，由于解題思維的差異以及推導的深入程度的不同，將得到不同的結論，并且均可以作為問題的答案填入此類問題的答案一般不唯一。

3.歸納猜想型問題

此類題沒有常規的解法和明確的結論，不能靠簡單模仿套路去解決，它考查的是考生的觀察、分析、比較、概括、歸納、猜想等能力。

例3.在下面田字格內的數有相同的規律，據此規律，C=_________。

簡解:108。

評析:這類題型的特點是:問題不提供與結論有關的任何信息，要答題者根據所學的知識和已知條件自行探索試驗、歸納、找出規律。在解這種問題的過程中，不應盲目化簡，要把主要精力用在尋找規律上，得出合理的猜想。

4.組合探索型問題

此類問題只給出一定的情境，其條件、解決策略與結論都要考生到情境中去自行設定或尋找問題，此類題，較多關注考生創新意識、創造能力與數學應用意識。

例4.如圖3，AD=BC，請添加一個條件，使圖中存在全等三角形并給予證明，你所添加的條件為_________，得到的一對全等三角形是_________。

簡解:添加的條件不唯一，得到的結論也不唯一。

舉例:可添加的條件為:AP=BP得:△APD≌△BPC，證明略。

可添加的條件為:∠A=∠B得:△APD≌△BPC，證明略。

可添加的條件為:∠A=∠B得:△ACP≌△BDP，證明略。

評析:這是條件開放結論也開放的問題，添加不同的條件，得到的結論也不同。