CVaR限制下的動(dòng)態(tài)最優(yōu)投資組合策略

摘要:本文在經(jīng)典的Matkowitz投資組合策略選擇的框架下，用CVaR代替了方差作為風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，在模型下，用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來刻畫股票價(jià)格過程，得出均值-CVaR模型下的動(dòng)態(tài)最優(yōu)策略和有效前沿邊界。

關(guān)鍵詞:CVaR模型自融資策略動(dòng)態(tài)組合最優(yōu)

一、引言

Matkowitz投資組合理論是現(xiàn)代金融的開端，均值-方差模型形成了金融風(fēng)險(xiǎn)管理的框架。從理論的觀點(diǎn)來看，均值-方差模型存在兩個(gè)亟須改進(jìn)的問題:

1、風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度。方差作為風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度最大的缺點(diǎn)就是把高于均值的部分納入了風(fēng)險(xiǎn)，顯然:這一部分真是我們所需要的。在此基礎(chǔ)上，很多學(xué)者提出了下偏風(fēng)險(xiǎn)理論。VaR就是基于下偏風(fēng)險(xiǎn)提出來的，同時(shí)還是近些年來提出的也是最重要的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度。但是VaR存在一些缺點(diǎn)，尤其體現(xiàn)在資產(chǎn)分布存在尖峰厚尾性上，同時(shí)VaR還不滿足次可加性，次可加性是一致性風(fēng)險(xiǎn)的重要性質(zhì)。本文針對(duì)VaR的這兩個(gè)缺點(diǎn)，提出了CVaR(Conditional Value at Risk)，也被成為尾部VaR，平均超值損失和平均不足量。

2、時(shí)間模型。傳統(tǒng)的投資組合策略選擇采用單期模型，很明顯這與現(xiàn)實(shí)存在很大差異，然而，動(dòng)態(tài)的均值-方差模型存在很多的困難，直到2000年，動(dòng)態(tài)的均值-方差模型最優(yōu)策略才被研究出來。

本文采用連續(xù)時(shí)間的動(dòng)態(tài)模型，在期權(quán)定價(jià)的背景下，假定股票價(jià)格服從帶有漂移項(xiàng)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，用CVaR做為風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度研究投資計(jì)劃期[0， T]下的最優(yōu)投資策略。

二、市場(chǎng)模型

考慮這樣的資產(chǎn)市場(chǎng)，有n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和1種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。

表示第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在時(shí)刻t的價(jià)格，，

，表示無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在時(shí)刻t的價(jià)格。由模型得出的資產(chǎn)價(jià)格的微分方程為:

這里，r表示無風(fēng)險(xiǎn)利率，表示一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的n維的布朗運(yùn)動(dòng)，表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率向量， 表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率矩陣，

表示σ的第i行向量。并假定波動(dòng)率矩陣滿足非退化(non-degeneracy)條件

其中為給定常數(shù)，I為n×n單位矩陣。

由于風(fēng)險(xiǎn)和收益相匹配原理，我們可以一般性的假設(shè):

。

在這篇文章里，我們?nèi)渴褂米匀谫Y的投資策略，即:除了初始資本投資外，不會(huì)追加資本投資，而且保持投資比例不變。也就是說:

= ，。為一個(gè)不變的投資組合，其中表示投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i上的財(cái)富比例。用 表示當(dāng)投資者采取允許投資組合時(shí)的財(cái)富過程，那么它遵循如下微分方程

其中1n表示分量全為1的n維列向量，x表示投資者的初始資本。

應(yīng)用Wick-Ito積分，解微分方程(1)得到:.

同時(shí)也可以得到: (3)

對(duì)給定的置信度，我們用表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對(duì)應(yīng)置信度α的分位數(shù)。因?yàn)槲覀冎饕P(guān)注下偏風(fēng)險(xiǎn)，所以我們限定 ，這樣有。

命題1 對(duì)應(yīng)置信水平α財(cái)富過程的分位數(shù) 的表達(dá)式為

證明:設(shè)=

易得: ~

的對(duì)應(yīng)置信水平α的分位數(shù)為:

由于是一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，所以有:

所以:

命題2

的含義是“條件在險(xiǎn)價(jià)值”，是指損失超出的條件均值，也稱平均超值損失。

三、最優(yōu)策略

本文定義的最優(yōu)投資策略是根據(jù)Matkowitz的均值-方差模型，指在以給定的風(fēng)險(xiǎn)值下，對(duì)期望終端財(cái)富最大化模型，用數(shù)學(xué)模型表示為:

四、有效前沿

通過上述最優(yōu)策略的研究得知，滿足最優(yōu)策略的條件有兩個(gè):

這個(gè)方程所對(duì)應(yīng)的圖像就是均值- 的有效前沿邊界。

五、結(jié)論

本文使用了 作為風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，代替了 ，體現(xiàn)出了 的優(yōu)點(diǎn)，本文的研究結(jié)果似乎也很令人高興，然而現(xiàn)實(shí)中資產(chǎn)分布并沒有完全像幾何布朗運(yùn)動(dòng)刻畫的那樣，很多研究表明:除了尖峰厚尾性的分布外，股票價(jià)格還具有自相似性和長(zhǎng)相依性，所以，本文需要完善的地方還有很多，現(xiàn)在已有分式幾何布朗運(yùn)動(dòng)作為模型的改進(jìn)，同時(shí)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的方法也有很多，我認(rèn)為研究的空間還是很大的。

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(作者單位:南京財(cái)經(jīng)大學(xué))