理論教學(xué)\\傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)與“有限元分析”有機(jī)結(jié)合的探索與研究

摘 要：“有限元分析”是工程領(lǐng)域進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的極為重要的方法之一。為使學(xué)生掌握有限元方法的基本原理和編程技巧，更好地應(yīng)用有限元分析這一強(qiáng)有力的數(shù)值計(jì)算工具，文章將理論分析、傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)與計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬有機(jī)結(jié)合，結(jié)合工程應(yīng)用的具體實(shí)踐，在有限元教學(xué)中不斷滲透學(xué)科發(fā)展的前沿知識(shí)，從教學(xué)方式、內(nèi)容選擇、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)等幾個(gè)方面作了一系列探索。

關(guān)鍵詞：理論教學(xué)傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)教學(xué) 有限元分析教學(xué)模式 內(nèi)容選擇 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)教學(xué)改革

中圖分類號(hào)：O31 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-623x(2010)04-0025-04

有限元分析是工程領(lǐng)域進(jìn)行數(shù)值模擬極為重要的手段，已成為工程設(shè)計(jì)及分析的最重要工具之一，有限元分析的數(shù)值方法、分析解法與實(shí)驗(yàn)研究已成為現(xiàn)代工程科學(xué)的三大支柱，…在現(xiàn)代土木工程中得到了非常廣泛的應(yīng)用。有限元方法成本較低，適用范圍寬，可以獲得幾乎任意復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的各種機(jī)械性能信息，還可以直接就工程設(shè)計(jì)進(jìn)行各種評(píng)判，可以就各種工程事故進(jìn)行技術(shù)分析。力學(xué)分析的軟件化，使得對(duì)結(jié)構(gòu)或機(jī)構(gòu)做力學(xué)分析變得大為簡(jiǎn)單，一般的力學(xué)分析不再需要專門的力學(xué)人才去完成。有限元方法是有限元分析的理論基礎(chǔ)，是求解各種復(fù)雜數(shù)學(xué)物理問題的重要方法，也是進(jìn)行可行性研究的重要工具。掌握有限元方法的基本原理和編程技巧，更好地應(yīng)用有限元分析這一強(qiáng)有力的數(shù)值計(jì)算工具，成為各高校工程類大學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容和要求。

一、教學(xué)方法的探索

有限元法是土木工程本科生接觸到的唯一數(shù)值計(jì)算方法，也是當(dāng)前應(yīng)用最廣泛的方法。有限元法通過離散與組合，可以適應(yīng)彈性體的任意邊界形狀，材料性質(zhì)及荷載分布等復(fù)雜性，非常適合于編制計(jì)算機(jī)程序，得到了極其廣泛的應(yīng)用和發(fā)展。然而雖然有限元方法的基本思想和原理是“簡(jiǎn)單”而又“樸素”的，但“有限元方法及程序設(shè)計(jì)”課程卻又綜合了力學(xué)理論、矩陣分析、數(shù)值計(jì)算、工程結(jié)構(gòu)等多方面的知識(shí)。“數(shù)理原理+軟件工具+應(yīng)用對(duì)象”是有限元分析這門課的三個(gè)主要特征。由于其所涉及到的數(shù)學(xué)力學(xué)知識(shí)往往使初學(xué)者望而生畏，探討合理的教學(xué)模式成為有限元課程的首要任務(wù)。

興趣是最好的老師。注重對(duì)學(xué)生興趣的激發(fā)、能力的培養(yǎng)，這是教學(xué)的關(guān)鍵。借助于目前多媒體計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，為充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，增加課堂學(xué)習(xí)的趣味性，運(yùn)用教學(xué)演示實(shí)例，介紹有限元方法在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用，從工程實(shí)際中選出具有典型代表意義和較大覆蓋面的實(shí)例作為教學(xué)素材，增強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)。同時(shí)為學(xué)生介紹一些目前國(guó)際通用的有限元分析軟件，這些軟件一般包括前處理、后處理及計(jì)算三大塊。多數(shù)大型通用軟件的后處理可以用應(yīng)力云圖、變形云圖顯示構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變分布，同時(shí)鼓勵(lì)他們熟悉其中的某種軟件。比如Ansys軟件，作為一個(gè)大型通用的有限元程序，其功能已為全世界公認(rèn)。該程序最為顯著特點(diǎn)是加入交互式操作方式，即能在分析前用交互式圖形驗(yàn)證模型的幾何形狀，材料及邊界條件，分析之后又能立即用圖形交互地檢查分析結(jié)果。這必然讓學(xué)生對(duì)所學(xué)的理論知識(shí)有了興趣。

研究性學(xué)習(xí)也是被大力推廣的一種學(xué)習(xí)方法，實(shí)踐證明可以有效地改變學(xué)生在傳統(tǒng)課程承載的知識(shí)面前的被動(dòng)局面。有限元分析實(shí)現(xiàn)的最后載體是經(jīng)技術(shù)集成后的有限元分析軟件，但能夠使用和操作有限元分析軟件，并不意味著掌握了有限元分析這一復(fù)雜的工具。對(duì)同一問題，使用同一種有限元軟件，不同的人會(huì)得到完全不同的計(jì)算結(jié)果，如何來評(píng)判計(jì)算結(jié)果的有效性與準(zhǔn)確性，是各類工程技術(shù)人員不得不面臨的重要問題。只有在掌握了有限元分析基本原理的基礎(chǔ)上，才能真正理解有限元方法的本質(zhì)，應(yīng)用有限元方法及其軟件系統(tǒng)來分析解決實(shí)際問題，以獲得正確的計(jì)算結(jié)果。針對(duì)學(xué)生中認(rèn)為只要掌握了通用軟件，就不必再學(xué)習(xí)有限元基礎(chǔ)理論的思想，我們精心選擇了例題、習(xí)題，讓不同小組的學(xué)生應(yīng)用相同的軟件，卻采用各種不同的單元，相同的單元卻不同的網(wǎng)格數(shù)量進(jìn)行計(jì)算，得到不同的結(jié)果后，進(jìn)行分析討論。其解析解、采用兩種單元的計(jì)算結(jié)果，如表1所示。

由表1中計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，選用普通4節(jié)點(diǎn)單元網(wǎng)格1，與解析解相比，j點(diǎn)位移誤差在載荷A與載荷B情況下均為31.9％；i點(diǎn)彎曲應(yīng)力誤差均為27.3％。但是選用更密的網(wǎng)格后，與解析解相比j點(diǎn)位移誤差、i點(diǎn)彎曲應(yīng)力誤差均有下降，分別為29.4％與27％。采用Wilson 4節(jié)點(diǎn)非協(xié)調(diào)單元增加內(nèi)部自由度后，誤差大幅下降，有限元分析結(jié)果與解析解非常接近，說明Wilson 4節(jié)點(diǎn)非協(xié)調(diào)單元對(duì)精度的改進(jìn)效果是相當(dāng)好的。由此可見，單元選擇的不同，直接影響到計(jì)算結(jié)果的正確與否。就如何來進(jìn)行單元的劃分、選擇，如何來提高計(jì)算的精度，減少計(jì)算的時(shí)間等等具體問題的討論，可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)中不斷提高了對(duì)理論的理解，不斷提高有限元軟件的應(yīng)用能力，善于解決以后工作中遇到的實(shí)際問題。

承前啟后，融會(huì)貫通，是有限元教學(xué)的又一特點(diǎn)。在此之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、矩陣運(yùn)算等，為此，首先引導(dǎo)學(xué)生回憶彈性力學(xué)中按位移求解的方法，引出工程實(shí)踐中廣泛存在的連續(xù)體偏微分方程無法求出其精確解的問題，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用離散化思想分析問題的新途徑，通過計(jì)算機(jī)程序或大型工程有限元分析軟件求出問題的近似解(有限元解)。在平衡方程的建立過程中，結(jié)合材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)中已掌握的桿系結(jié)構(gòu)虛功原理、能量原理，介紹最小勢(shì)能原理及其變分。涉及到單元?jiǎng)偠染仃嚂r(shí)，啟發(fā)學(xué)生在矩陣位移法單剛的基礎(chǔ)上理解三角形單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)，理解矩陣奇異性的含義，及對(duì)如何消除奇異性展開討論，以引出后續(xù)內(nèi)容等等。

二、教學(xué)內(nèi)容的選擇

理論力學(xué)、材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)為土木工程中結(jié)構(gòu)構(gòu)件的力學(xué)模型建立、變形和受力分析奠定基礎(chǔ)。然而在實(shí)際工程中，研究對(duì)象的幾何形狀、所受的荷載和約束條件都很復(fù)雜，能求出理論解析解的工程問題極少。在學(xué)習(xí)“三大力學(xué)”過程中，學(xué)生容易產(chǎn)生理論與實(shí)際脫節(jié)、工程應(yīng)用困難的印象。而且目前“三大力學(xué)”的教學(xué)內(nèi)容很少反映現(xiàn)代力學(xué)發(fā)展的新成果和計(jì)算手段在工程實(shí)踐中的應(yīng)用，并且實(shí)踐性環(huán)節(jié)薄弱，課程設(shè)計(jì)、學(xué)習(xí)小論文和工程實(shí)踐少，不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。但借助于計(jì)算機(jī)，有限元分析能給出結(jié)構(gòu)構(gòu)件的應(yīng)力、變形及位移的數(shù)值結(jié)果，可以是數(shù)據(jù)、曲線或圖像，直觀明了，信息豐富，克服了“三大力學(xué)”中力學(xué)概念抽象和復(fù)雜的缺點(diǎn)。

有限元法涉及內(nèi)容包括數(shù)學(xué)力學(xué)基礎(chǔ)、軟件工具和工程應(yīng)用等三個(gè)方面。有限元方法理論研究及其工程應(yīng)用領(lǐng)域在不斷發(fā)展，教學(xué)內(nèi)容不斷豐富，因此在教學(xué)過程中必須根據(jù)專業(yè)的不同，突出教學(xué)重點(diǎn)，從課堂教學(xué)、上機(jī)操作、工程實(shí)踐等多方面人手，從教學(xué)內(nèi)容方面對(duì)“有限元方法”課程進(jìn)行改革。在兼顧理論教學(xué)的同時(shí)，著重加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力，將有限元方法的基本理論與實(shí)際工程緊密結(jié)合起來，發(fā)揮多媒體教學(xué)直觀、互動(dòng)的特點(diǎn)，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，既讓學(xué)生了解有限元方法的起源以及發(fā)展歷程，又要由淺入深，讓學(xué)生掌握典型的一維桿系結(jié)構(gòu)、二維彈性力學(xué)平面問題、板殼單元、三維實(shí)體單元等構(gòu)造，并從變分原理、矩陣位移法角度詳細(xì)討論有限元方法的單元離散問題。從線性靜力有限元分析出發(fā)，到動(dòng)力問題。讓學(xué)生對(duì)有限元結(jié)構(gòu)分析基本原理、計(jì)算公式和計(jì)算步驟有較深的理解。為此，精講平面問題的彈性力學(xué)經(jīng)典理論和有限元法求解平面問題的基本原理及計(jì)算步驟，使學(xué)生能夠真正理解彈性力學(xué)的研究方法和有限元數(shù)值求解的步驟。有限元軟件工具采用能夠編制，dat文件的FEAP與在土木工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛的ANSYS軟件系統(tǒng)相結(jié)合，教學(xué)演示與自主建模相結(jié)合，精心設(shè)計(jì)上機(jī)操作的內(nèi)容，讓學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)熟練掌握有限元軟件的使用方法。有限元法的內(nèi)容與工程應(yīng)用是緊密相關(guān)的，從工程實(shí)踐中精選有代表性的實(shí)例，讓學(xué)生練習(xí)建模分析，會(huì)收到良好的教學(xué)效果。

加強(qiáng)學(xué)生的基礎(chǔ)訓(xùn)練，從“數(shù)值分析”人手，使學(xué)生在理解有限元的數(shù)學(xué)力學(xué)基礎(chǔ)上，著重于方法論的融會(huì)貫通。有限元結(jié)構(gòu)分析程序是把有限元結(jié)構(gòu)分析理論和方法通過算法與應(yīng)用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)計(jì)算過程的連接紐帶，有限元程序是實(shí)現(xiàn)有限元計(jì)算應(yīng)用的關(guān)鍵。為達(dá)到對(duì)有限元結(jié)構(gòu)分析方法的基本原理及公式更全面的了解，掌握有限元解題方法的步驟，我們采用以人為本的上機(jī)實(shí)踐，提供有限元程序框圖及大部分或全部有限元程序功能模塊，并對(duì)程序進(jìn)行講解說明，要求學(xué)生分工編寫或改寫部分子程序，形成完整的有限元程序。上機(jī)操作以完成程序的連接調(diào)試工作，以培養(yǎng)閱讀和編寫有限元程序的能力，較好地掌握和使用程序，適應(yīng)所給出新問題為要求。

通過上機(jī)實(shí)踐，不僅能加深學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手能力，尤為重要的是，只有通過上機(jī)實(shí)踐，學(xué)生才能真正投入到有限元分析的過程中來，并在使用中發(fā)現(xiàn)問題，獨(dú)立或在教師的幫助下分析問題，最終具備獨(dú)立解決問題的能力。對(duì)于課程教學(xué)計(jì)劃中有限的上機(jī)學(xué)時(shí)，除加強(qiáng)上機(jī)實(shí)習(xí)的監(jiān)管外，注重對(duì)學(xué)生一對(duì)一的上機(jī)輔導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立完成案例分析和進(jìn)行課外的上機(jī)操作練習(xí)，使本科生應(yīng)用有限元方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析成為可能。

三、教學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)

有限元方法課程的目標(biāo)是讓學(xué)生掌握和應(yīng)用有限元方法，為今后用該方法分析和解決工程實(shí)際問題打下一個(gè)良好的基礎(chǔ)。顯然，該課程的教學(xué)與工程實(shí)際是緊密相關(guān)的。為此，筆者設(shè)計(jì)了模擬二層樓房的雙層剛架的靜動(dòng)態(tài)綜合性實(shí)驗(yàn)裝置，它集中了幾類基本受力構(gòu)件，如受彎構(gòu)件(板和梁)、拉壓構(gòu)件(柱)，并通過剛結(jié)點(diǎn)將各類構(gòu)件連成整體。此結(jié)構(gòu)具有良好的韌性，抗振能力強(qiáng)，在彈性范圍內(nèi)擺動(dòng)多次都不破壞，適合教學(xué)實(shí)驗(yàn)。且可通過更換柱的高度和增多、減少板梁的個(gè)數(shù)來研究一個(gè)或多個(gè)自由度體系，如圖2所示。剛架每層高110mm，柱材料為彈簧剛片，彈性模量E為206GPa，柱寬10mm，厚0.8 mm，設(shè)計(jì)的準(zhǔn)則是保證剛架受2公斤以下的力激振時(shí)，左右擺動(dòng)彈簧剛片不會(huì)產(chǎn)生塑性變形，始終保持彈性狀態(tài)。模擬樓板材料為鋁板，規(guī)格為130mm×130mm×12mm，在剛架的頂層中心開一個(gè)直徑為8 mm的孔，用以做實(shí)驗(yàn)時(shí)更換不同大小的附加質(zhì)量塊，板梁和柱的接觸面先用環(huán)氧樹脂粘貼，再用螺釘緊固，以保證板梁和柱為剛結(jié)點(diǎn)結(jié)合。在剛架的底層樓板中心開一個(gè)直徑為8mm的孔，用以和基礎(chǔ)板槽鋼緊固。實(shí)驗(yàn)裝置由基礎(chǔ)底板、剛架、激振器、激振器夾具、激振信號(hào)源、動(dòng)靜態(tài)應(yīng)變儀和和分析系統(tǒng)等組成，如圖3所示。

對(duì)此結(jié)構(gòu)，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用有限元法進(jìn)行數(shù)值模擬，編寫程序，最后用應(yīng)力云圖、變形云圖顯示結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變分布等；再通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試，及應(yīng)用傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)力學(xué)進(jìn)行計(jì)算，最后寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告，比較討論各種結(jié)果，培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題，探索及解決問題的能力及創(chuàng)新精神，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)傳統(tǒng)理論、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、有限元分析的理解與應(yīng)用。論教學(xué)、傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)與數(shù)值模擬有機(jī)結(jié)合起來，掌握有限元方法，我們只有不斷進(jìn)行教學(xué)研究與探索，合理設(shè)置教學(xué)內(nèi)容，不斷改進(jìn)教學(xué)方法，在有限元教學(xué)中不斷滲透學(xué)科發(fā)展的前沿知識(shí)，將最新的研究成果、科研工作融入到教學(xué)中，才能在有限的教學(xué)學(xué)時(shí)內(nèi)讓學(xué)生牢固掌握基本知識(shí)。從教學(xué)方法、內(nèi)容選擇、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)等幾個(gè)方面的探索表明，在“有限元方法”課程的教學(xué)過程中，學(xué)生的總體反應(yīng)很好，親身感受了有限元工具軟件及力學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，對(duì)學(xué)生相輔相成地理解和學(xué)習(xí)其它力學(xué)課程及后續(xù)的專業(yè)課程有很大的幫助。