幾何畫板中的繪圖思想探析

在數學教學中，幾何畫板是數學教師首選的CAI課件制作工具軟件，它以運動和變化過程中的“幾何關系不變性”為基礎，并可以軌跡以及動畫的形式，形象地展示“動態幾何”的魅力和數學美的一面，是數學教師進行數學教學以及學生進行探究性學習數學的得力工具。

作為一種優秀的數學專業工具制作軟件，幾何畫板具有如下特點：尺規作圖、圖形變換、度量計算、動畫軌跡、繪制函數以及腳本記錄等功能，然而，在這些功能的背后，都蘊含了豐富的數學概念、定理、性質和一些數學思想方法等，在運用幾何畫板進行數學課件制作的時候，只有明晰這些繪圖功能原理和思想，才能夠更好地指導學生進行課件制作；同時，學生在運用幾何畫板進行探究性學習的時候，也只有在這些功能原理和思想的指導下，才能夠進一步探究數學的奧妙，并在探究學習的過程中，加深對數學概念、定理、性質和數學思想方法的理解和運用。

因此，本論文將從上述角度對幾何畫板中的繪圖思想進行探討，以起到拋磚引玉的作用。

一、運用數學概念和定理繪制幾何圖形

我們知道，幾何畫板最大的功能就是可以進行尺規作圖。但是在使用某些功能命令的時候必須有一定的前提，也就是要選擇一定的對象才可以實現某些功能命令，也就是說，我們在進行尺規作圖的時候都有一定的數學概念、性質和定理作依據。

譬如，圓的繪制，運用圓規工具很容易繪制任意半徑的圓，除此之外，我們還可以依據圓的概念和性質：過圓心和圓周上的任意一點可以繪制圓；已知半徑和圓心可以繪制固定半徑的圓等，而根據三角形的外心和內心的畫法還可以繪制三角形的外接圓和內切圓，等等。

繪制平行四邊形的時候，可以運用“畫平行線”功能命令，而我們在中學就已經了解，“過直線外一點有且只有一條直線與該直線平行”，因此，在繪制平行線的時候就可以先選定一條直線型對象和不在直線型對象上的點，然后依據“作圖”菜單中“平行線”命令進行繪制。

類似地，在“度量”菜單中，有長度的度量和距離的度量我們知道，只有線段才有長度，而距離，則是針對兩點而言的，因此，在度量長度和距離時，要選擇不同的前提：前者要先選定一條或多條線段；而后者則只能夠選定兩個點。

二、運用變換的思想繪制幾何圖形

在幾何畫板的變換菜單中包含了很多命令，諸如平移、旋轉、縮放、反射和迭代等。

1 運用“平移”和“縮放”的思想來移動對象

平移是指：對于兩個幾何圖形，如果在它們的所有點與點之間可以建立起一一對應關系，并且以一個圖形上任一點為起點，另一個圖形上的對應點為終點作向量，所得的一切向量都彼此相等，那么其中一個圖形到另一個圖形的變換叫做平移，平移是一個保距變換，又是一個保角變換，因此“平移”就蘊含了“向量”的數學思想，在運用幾何畫板進行繪圖的時候，如要將一對象按照某個向量方向進行平移的，可以“標記向量”，也就是要先確定平移的方向和距離，然后按照這個標記的向量進行平移。

需要說明的是，按照標記向量所平移的對象，具有原向量的性質(在方向和距離方面)，因此可以利用原向量控制所要平移的對象，而原向量上的點就是制作動畫按鈕和移動按鈕的依據。

除此之外，還可以運用平移功能按照固定的方向平移對象，譬如，可以通過平移命令將點平移固定距離來繪制固定長度的線段。

幾何畫板中的“縮放”命令，其思想來源就是比例，按照一定的比例可以將對象縮小或放大。

2 運用旋轉和反射的思想研究對稱圖形的性質

在幾何畫板中，運用旋轉和反射的思想，可以快捷地繪制一些對稱圖形和其他一些規則圖形，旋轉是指將選中的對象繞一定點，按照固定角度或者標記角度轉動；反射是指將選中的對象按標記的鏡面(即對稱軸，可以是直線、射線或線段)構造軸對稱關系。

譬如，要繪制正六邊形，可先繪制一定圓，然后在定圓上選擇任意點，以圓心為旋轉中心，按照同一方向旋轉60°，如此旋轉5次，即可得到另外五點，然后順次連接這六個點即可繪制出正六邊形，而運用反射的思想則可以繪制一些對稱圖形并感受數學的對稱美。

當然，我們利用幾何畫板繪制這樣的圖形，并不是簡單地為了找出些好看的圖形，更重要的是通過這些圖形的制作，啟迪學生感受到數學與生活是緊密聯系的，數學與大自然是緊密聯系的，讓學生更有興趣去深入探索。

3 運用迭代中的映射思想繪制魅力的分形圖形和數列的生成過程

迭代一個動作或操作就是重復它多次，從數學角度出發，迭代指的是重復應用在數學構建、計算或其他操作的原來的相同操作結果，在代數上，一個迭代是指一個使用輸入值來計算輸出值的計算過程的不斷重復，這個迭代重復地使用從前一個計算中得到的計算結果作為下一個計算的輸入值，在幾何上，一個迭代使用一類能構建出新的一類對象的幾何對象，原來對象的集合作為輸入，新的集合作為輸出，使用迭代可以創建重復的變換(比如棋盤)，產生分形和其他自身類似的對象，或產生其他(幾何或數值的)序列和數列，令人充分領略數學變化的奧妙和數學美的魅力，譬如我們可以用迭代方法生成的勾股樹，通過迭代的數學制作圓的n等分的課件來動態展示微積分的數學思想，

三、通過追蹤軌跡將思維的對象化無形為有形

所謂“軌跡”就是“質點按給定條件運動所留的痕跡”或“按給定的條件運動所應遵循的路線”，傳統方法在研究運動軌跡的時候一般是根據對稱性、范圍以及特殊點的方法來探求軌跡的形狀和位置，根據軌跡的定義，軌跡是在按照給定的條件下通過運動產生的，幾何畫板中的“顯示”和“作圖”菜單中都含有“軌跡”的功能，我們可以借助于幾何畫板中的“顯示”菜單中的“追蹤”軌跡命令來了解質點或對象的運動軌跡，并且通過“作圖”菜單中的“軌跡”命令繪制出質點或對象的運動軌跡，化無形為有形，拓展學生的想象能力。

譬如。在高中“解析幾何”中介紹“直角坐標系中曲線的參數方程”——拋物線的時候，為了讓學生對生活中一些運動軌跡的曲線有直觀的認識和體驗，可以將“自行車的車輪上如果粘上一塊糖紙，那么糖紙在自行車運動的過程中，其軌跡應該是什么樣的曲線?”這一生活中的物理問題提出來，來激發學生的學習興趣，在學生進行充分的思考，猜測之后。教師可通過演示課件，讓學生直觀地看到“糖紙”的運動軌跡，然后通過討論、實驗、歸納等形式將物理問題轉化為數學問題進行解決，

而學生在運用幾何畫板軟件進行學習的時候，則可以結合幾何畫板中的“追蹤軌跡”和“軌跡”命令探求對象的運動軌跡，在有形的軌跡中發現規律并給出相應的證明，

四、運用函數的思想繪制函數圖像

在幾何畫板的度量菜單中，內置了計算器，里面含有一些函數，如三角函數和反三角函數、對數函數和一些特殊的函數，因此，在運用幾何畫板進行數學教學時，可運用函數的思想，通過制作函數圖像方式來研究圖像的性質，

了解幾何畫板中的函數思想主要在于指導繪圖和更好地了解函數的變化規律和性質，在笛卡爾坐標系中，繪制函數圖像主要通過依據函數關系式在坐標系中以點的形式建立自變量和因變量之間的關系，然后自變量在其定義域內進行變化的時候，根據關系式所生成動點運動時所生成的軌跡來實現，

因此，在幾何畫板中進行繪制函數圖像的時候，首先是建立坐標系(如果要繪制三角函數，還要先將角度單位更改為弧度)，根據函數的定義域，在x軸的相應區間內任意選取一點A，度量其橫坐標x作為自變量，然后根據x和相應的函數法則來度量計算函數值y，繪制坐標點P(x，y)，依次選擇點A和點P，作軌跡就可以得到相應的函數圖像。

五、運用父對象和子對象的關系來探究圖像的生成過程

在幾何畫板中的對象可根據生成和被生成的關系分為兩類：父對象和子對象，所謂的父對象就是在繪圖過程中生成其他對象的對象，子對象就是在繪圖過程中由父對象生成的對象，如：在線段AB上選擇任意一點c，則點G的父對象就是線段AB，點G是線段AB的子對象，子對象具有父對象上的點的所有性質，因此，在本例中如果作點C的動畫的話，則點c就具有在線段AB上自由運動的性質，類似地，如果在一段弧、圓以及圓錐曲線等上任意選取點的話，則這些點就分別具有在圓上、弧上以及圓錐曲線上自由運動的性質，依據這些性質，可以制作具有某種運動規律的對象：如單擺的簡諧振動，正方形的分形動畫，地球、月亮和太陽之’間的繞轉運動等，此外，根據父對象和子對象的關系還可以探究圖像的生成過程。

在一個成品的課件中，呈現在我們面前的往往是簡潔而不失美觀的幾何圖形，幾何畫板中的隱藏功能可以將我們繁瑣的制作痕跡(或者說制作腳本、思維痕跡)隱藏得無影無蹤，即便是有顯示功能，卻很難體現出課件制作的過程性，讓人在感嘆幾何圖形的簡單美之余，又不免令人感到遺憾：到底這些圖形是如何繪制出來的?運用幾何畫板中的父對象和子對象的關系就可以在沒有這些制作腳本的前提下，自行探究圖形的制作和生成過程，因此，把握好父對象和子對象的關系，又可以為我們自學幾何畫板的功能掃清障礙。