“火眼”巧尋全等隱藏條件

通過《全等三角形》這一章節的學習我們我們掌握了五種證明兩個三角形全等的方法:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.構成判定方法的條件主要是對應邊相等和對應角相等.在實際的證明過程中，有很多相等的對應角和對應邊均通過對頂角、公共角、公共邊等形式隱藏在題目當中，需要我們去尋找.下面列舉幾種常見的隱藏情況.

隱藏類型一:對頂角

【例1】 如圖1，AD與BC相交于點E，E是AD和BC的中點.

求證:△ABE≌△DCE.

圖1

分析:由E是AD和BC的中點可得AE=DE，BE=CE.

要證兩個三角形相等，此時只有兩組對應邊相等，還差一個條件.通過觀察，題目中隱藏了一個條件:∠AEB和∠DEC是對頂角，因此∠AEB=∠DEC.

證明:

∵E是AD和BC的中點，

∴AE=DE，BE=CE.

在△ABE與△DCE中，

AE=DE(已證)，

∠AEB=∠DEC(對頂角相等)，

BE=CE(已證)，

∴△ABE≌△DCE(SAS).

隱藏類型二:公共角

【例2】 如圖2，AB=AC，∠B=∠C，

求證:△ABE≌△ACD.

圖2

分析:要證兩個三角形全等，題目直接給出了一組對應邊和一組對應角相等，還差一個條件.通過觀察，發現∠A是△ABE與△ACD的公共角.

證明:在△ABE與△ACD中，

∠B=∠C(已知)，

AB=AC(已知)，

∠A=∠A(公共角)，

∴△ABE≌△ACD(ASA).

變形:如圖3，AB=AC，∠B=∠C，∠1=∠2，

求證:△ABE≌△ACD.

分析:本題目可以看成是將圖2中的△ACD圍繞點A順時針旋轉一定角度而成.題目中需證全等的兩個三角形只有一組對應角和一組對應邊相等，還差一個條件.通過觀察，△ABE與△ACD中一組對應角∠DAC與∠EAB有一部分重合，且不重合部分相等，因此只需將不重合部分分別加上重合部分，便可得到∠DAC=∠EAB.

圖3

證明:

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC，

即∠DAC=∠EAB.

在△ABE與△DCE中，

∠B=∠C(已知)，

AB=AC(已知)，

∠EAB=∠DAC(已證)，

∴△ABE≌△ACD(ASA).

隱藏類型三:公共邊

【例3】 如圖4，AD平分∠BAC，AB=AC，

求證:△ABD≌△ACD.

分析:由于AD平分∠BAC，可得∠BAD=∠CAD，結合題目可得△ABD與△ACD中有一組對應角和一組對應邊相等，還差一個條件.通過觀察，可知AD是△ABD與△ACD的公共邊.

圖4

證明:

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD.

在△ABD與△ACD中，

AD=AD(公共邊)，

∠BAD=∠CAD(已證)，

AB=AC(已知)，

∴△ABD≌△ACD(SAS).

變式:如圖5，∠1=∠2，AB=EC，AE=FD.

求證:△ABF≌△ECD.

分析:本題目可以看成是將圖4中的△ACD沿著AD所在的直線向右移動.由圖形和條件可得對應邊AF與FD有一部分重合，且不重合部分相等.此時將不重合部分分別加上重合部分，便可得到AF=ED.

圖5

證明:

∵AE=FD，

∴AE+EF=FD+EF，

即AF=ED.

在△ABF與△ECD中，

AB=EC(已知)，

∠1=∠2(已知)，

AF=ED(已證)，

∴△ABF≌△ECD(SAS).

以上三種類型的題目是常見的證明兩個三角形全等的題目，在證明時，不妨從對頂角、公共角、公共邊等方面入手，讓隱含條件明朗化.

(責任編輯 金 鈴)