單擺周期的一個推論式及其例解

我們知道，有些單擺受外部因素影響時，單擺的周期不能直接用T=2πLg計算，一般情況下，可以用兩種方式解決:一是等效重力加速度的方法;二是等效擺長的方法.下面介紹一種計算單擺周期的通用推論式，供大家參考.

一、計算單擺周期的通用推論式

單擺模型在平衡位置(最低點)靜止時，所受合力為零，所以擺球所受重力與擺線對擺球的拉力平衡，即F拉=mg，也就是重力加速度可以用g=F拉m計算，單擺周期公式即可變為T=2πLg=2π

L

F拉m

=2πmLF拉.當受外部因素影響，單擺在平衡位置靜止時，擺球所受各力的合力仍為零，即擺球所受擺線的拉力與其他各力的合力平衡，如將其余各力的合力等效為“重力”，有:F拉=F合=mg′，即可得“等效重力加速度”:g′=F拉m，單擺周期公式即為:T=2πLg′=2πmLF拉.綜合以上情形，可得計算單擺周期的一個通用的推論式:T=2πmLF，其中F為擺球在平衡位置靜止時擺線對擺球的拉力.

二、應用舉例

【例1】 如圖1所示，在一傾角為θ的光滑斜面上固定一長為l的單擺，若使其小角度擺動，它的運動周期為().

圖1

A.T=2πlg

B.T=2πlsinθg

C.T=2πlgsinθ

D.T=2πlgcosθ

解析:通常情況下，解此題是用等效擺長的方法，如果等效不正確就會得出選項B的錯誤答案.

根據推論式，現只要求出擺球在平衡位置靜止時擺線對擺球的拉力，即拉力等于擺球所受重力沿斜面向下的分力:F=mgsinθ，就可運用推論式求出此單擺的運動周期:T=2πmlF=

2πlgsinθ

，故正確選項為C.

【例2】 在O點固定一擺長為l細線，另一端固定一個質量為m，帶電量為+q的小球(可視為質點)，然后沿水平方向加以電場強度為E的勻強電場，小球處于靜止狀態，如圖2所示.若將其拉開一個較小的角度由靜止釋放，求小球運動的周期.

圖2 圖3

解析:擺球在平衡位置靜止時的受力如圖3所示.

擺球所受的拉力為:F=(mg)2+(qE)2.

單擺的周期為:T=2πmlF=2πml(mg)2+(qE)2.

【例3】 在以加速度為a的勻加速上升的電梯的水平地面上固定一光滑圓弧，圓弧半徑為R，有一質量為m的小球(可視為質點)靜止在圓弧最低點.若將小球拉離一段較小的弧線由靜止釋放，如圖4所示，求小球運動的周期.

圖4 圖5

解析:此小球的運動可等效為單擺，圓弧的半徑即

可視為單擺的擺長，小球在平衡位置所受的支持力即可視

為擺球受到的拉力.

小球在平衡位置靜止時的受力如圖5所示.

由F-mg=ma，得F=m(g+a).

小球運動的周期T=2πmRF=2πRg+a.

(責任編輯 黃春香)