特殊值在解題中的引領作用

數學教學不僅是要傳授知識，更要注重學生的數學思想方法的培養.由特殊到一般的思想，不僅是數學研究的一種方法，也是我們中學數學中的一種學習方法.如在學習指數對數函數性質時，都是先由特殊指數對數函數的性質推廣到一般指數對數函數性質.在數列中特殊值法的應用例子俯拾即是，因此我們在平時的教學中應培養學生的特殊化思想的解題意識.

一、特殊值引領出結果

【例1】 已知不等式y2x+y+xx+2y≤c≤x2x+y+yx+2y對任意正實數x，y都成立，求實數c的值.

解析:通常的解法是求y2x+y+xx+2y的最大值，再求x2x+y+yx+2y的最小值，通過兩邊夾求出其值.但過程比較繁，如果用特殊值法解起來就比較簡單.

先取x=y就很容易得到c=23，然后再兩邊分別作差證明.

二、特殊值引領出方法

【例2】 在數列{an}中，若an=2n，求數列{an}前n項的和Sn.

解析:因為an=2n=2n+1-2n，

所以Sn=22-2+23-22+…+2n+1-2n.

則Sn=2n+1-2.

對于等比數列前n項和的推導及記憶應用都是一個難點，根據這個特殊解法可以引領出一般的求等比數列前n項和的方法.

一般地在等比數列{an}中，若an=a1qn-1(q≠1)，

則an=a1q-1(qn-qn-1).

∴sn=a1+a2+…+an=a1q-1(q1-q0+q2-q1+…+qn-qn-1)

=a1q-1(qn-1)=a1(1-qn)1-q.

三、特殊值引領出思路

【例3】 已知函數f(x)為奇函數，當x≥0時，f(x)=x2.

若不等式f(x+t)≥2f(x)對x∈[t，t+2]恒成立，求實數t的取值范圍.

分析:如能利用特殊值的思想來引領，就可以找到解題途徑.

因為f(x)=x2(x≥0)，-x2(x<0).

如果能得到2f(x)=f(2x)，就可以利用函數的單調性，是很容易求解的.

但此方法很難想到，即便教師，首先想到的都是分類討論，然后是分不清理還亂.

解:因為不等式f(x+t)≥2f(x)對x∈[t，t+2]恒成立，

所以當x=t時也成立，則f(2t))≥2f(t).

若t≤0時，-4t2≥2(-t2)顯然不成立;

若t≥0時，x≥0，x+t≥0，不等式f(x+t)≥2f(x)可化為

(x+t)2≥2x2對x∈[t，t+2]恒成立.

則x2-2tx-t2≤0對x∈[t，t+2]恒成立，

所以(t+2)2-2t(t+2)-t2≤0.

由t≥0解得:t≥2.

四、特殊值引領出創新

【例4】 設正數x，y，求w=x+y2x+y的最大值.

分析:把w=x+y2x+y看作y為特殊的常量的關于x為變量的函數，這樣也不失為一種方法.

解:設函數f(x)=x+y2x+y(x>0，y>0)，

則求導數得:f′(x)=y(y-2x)(2x+y)2x2x+y.

當x≥y4時，f′(x)≥0，函數f(x)為增函數;

當x≤y4時，f′(x)≤0，

函數f(x)為減函數.

則當x=y4時，函數f(x)有最大值為62.

(責任編輯 金 鈴)