一道課本習題的探究

【題目】(人教版高中數學第一冊(上)P143的練習第4題)已知數列{an}是等比數列，Sn是其前n項和，求證:S7，S14-S7，S21-S14成等比數列;設k∈N*，Sk≠0，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比數列嗎?

與之配套的《教師教學用書》的解答如下:由S7=a1(1-q7)1-q，S14=a1(1-q14)1-q，S21=a1(1-q21)1-q可得S7(S21-S14)=(S14-S7)2.即S7，S14-S7，S21-S14成等比數列.類似可證Sk，S2k-Sk，S3k-S2k也成等比數列.

分析:該解答正確嗎?筆者認為不正確，存在以下幾個問題:

問題1:證明中沒有分q=1和q≠1兩種情況討論，解法不嚴密，這也是學生易犯的錯誤.

問題2:后半題結論中未指明公比，使用起來易出錯(產生增根)，經過探索得出下面的性質及推廣.

性質:如果數列{an}是等比數列，q為公比，Sn是其前n項和，設k∈N*，Sk≠0，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比數列，且公比為qk(Sk≠0等價于q≠-1或q=-1，但k為奇數).

略證:∵Sk≠0，S2k=(a1+a2+…+ak)+(ak+1+ak+2+…+a2k)=Sk+(a1qk+a2qk+…+akqk)=Sk+qkSk，

S3k=(a1+a2+…+ak)+(ak+1+ak+2+…+a2k)+(a2k+1+a2k+2+…+a3k)=Sk+qkSk+q2kSk，

∴S2k-Sk=qkSk≠0，S3k-S2k=q2kSk≠0，∴Sk(S3k-S2k)=(S2k-Sk)2且(S2k-Sk)∶Sk=qkSk∶Sk=qk.

∴結論成立.

事實上，此性質可推廣:

推論:如果數列{an}是等比數列，q為公比，Sn是其前n項和，設k，l，m，n，R∈N*，l-k=m-l=n-m=R，q≠-1或q=-1但R為奇數，那么Sl-Sk，Sm-Sl，Sn-Sm成等比數列，且公比為qR.

略證:∵q≠-1或q=-1，但R為奇數，

∴Sl-Sk=ak+1+ak+2+…+al=qak+q2ak+…+qRak=(q+q2+…+qR)ak≠0，

Sm-Sl=(q+q2+…+qR)al=(q+q2+…+qR)#8226;akqR≠0，

Sn-Sm=(q+q2+…+qR)am=(q+q2+…+qR)#8226;alqR=(q+q2+…+qR)akq2R≠0，

∴(Sm-Sl)2=(Sl-Sk)(Sn-Sm)，且(Sm-Sl)∶(Sl-Sk)=qR.即Sl-Sk，Sm-Sl，Sn-Sm成等比數列，且公比為qR.

性質及推論說明:在等比數列中，當公比q≠-1或q=-1但k為奇數時，從某一項起，順次連續取k項，那么第1個k項之和，第2個k項之和，第3個k項之和，…，成等比數列，且公比為qk.

下面舉例說明.

【例1】 在等比數列{an}中，S2=7，S6=91，求S4.

解:顯然q≠-1，∴(S4-S2)2=S2(S6-S4).

∵S2=7，S6=91，∴(S4-7)2=7(91-S4)，

∴S4=28或S4=-21.

設{an}的公比為q，則數列S2，S4-S2，S6-S4的公比為q2，

∴S4-S2=S2q2=7q2>0，∴S4>S2>0，∴S4=28.

【例2】 (1998全國聯賽)各項均為實數的等比數列{an}的前n項之和為Sn，若S10=10，S30=70，則S40的值為().

A.150或-200B.-200

C.150D.以上均不對

解:顯然q≠-1，∵(S20-S10)2=S10(S30-S20)，

∴(S20-10)2=10(70-S20)，

∴S20=30或S20=-20.

又S20-S10=q10S10>0，

∴S20>S10>0，

∴S20=30.

又S20-S10，S30-S20，S40-S30成等比數列，

∴(S30-S20)2=(S20-S10)(S40-S30)，即(70-30)2=(30-10)(S40-70).

∴S40=150，故選C.

【例3】 已知等比數列前n項的和為2，其后2n項的和為12，求再后面3n項的和.

解:由題意q≠-1或q=-1但n為奇數，且Sn=2，S3n=14.

∵Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比數列，

∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)，即(S2n-2)2=2(14-S2n).

∴S2n=6或S2n=-4.

當S2n=6時，由S2n-Sn，S3n-S2n，S4n-S3n成等比數列得(S3n-S2n)2=(S2n-Sn)(S4n-S3n)，

即(14-6)2=(6-2)(S4n-14)，

∴S4n=30.

又S2n，S4n-S2n，S6n-S4n成等比數列，

∴(S4n-S2n)2=S2n(S6n-S4n)，即(30-6)2=6(S6n-30).

∴S6n=126.

∴S=S6n-S3n=126-14=112.

當S2n=-4時，同理可得S=-378.

∴再后面3n項的和為112或-378.

不難證明，在等差數列中也有類似性質，本文不再贅述.

(責任編輯 金 鈴)