三角形中位線在立體幾何解題中的魅力

立體幾何試題在每年的高考中都會出現，而且基本以解答題的形式出現.所以立體幾何在高考中占據了重要地位.但是，學生在一開始學習立體幾何時總或多或少有一定的障礙.從教多年來，筆者發(fā)現有很大一部分學生對立體幾何的學習有著一定的恐懼心理.事實上，立體幾何并不難學，只要學習得法，學習起來是非常輕松的.下面結合本人的教學實踐，通過幾個具體的例子談談三角形中位線在立體幾何解題中的魅力.

1.利用三角形中位線證題

【例1】 四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱PD⊥底面ABCD，E為PC的中點，求證:PA∥平面EDB.

分析:要證PA∥平面EDB，則只要在平面EDB內找到一條

與PA平行的直線即可.由題目條件知E為PC中點，而要尋找的

是PA的平行線，則應考慮△PAC.

圖1

證明:連結AC交BD于點O，連結EO.

∵ABCD為正方形，

∴O為BD、AC中點，

又∵在△PAC中，E為PC中點，

∴OE∥PA，

∵OE平面EDB，PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB.

2.利用中位線得平行線，求異面直線所成的角

【例2】 正四面體S-ABC中，D為BC的中點，求異面直線AD與SC所成角的余弦值.

圖2

分析:根據異面直線所成角的定義可知，

要求異面直線所成的角，則要將

直線通過平移變成兩條相交直線，

故本題也要作平行線，注意到D

為BC的中點，而要作的是SC的

平行線，所以可以考慮在△SBC中

應用中位線性質得SC的平行線.

解:取SB的中點E，連結DE、AE.

∵在△SBC中，D為BC的中點，E為SB的中點，

∴ED∥SC，∴∠ADE為AD與SC所成的角.

設正四面體的棱長為a，

則AD=32a，AE=32a，DE=12a，

∴cos∠ADE=34a2+a24-34a22×32a×a2=36，

∴AD與SC所成角的余弦值為36.

當然，能用三角形中位線來解的題目還有很多，限于篇幅這里不再一一舉例.雖然，我們現在解決立體幾何中的有關問題時，還有一個很重要的工具——向量.但筆者認為，向量并不是在解決所有問題時都很簡便，特別是在不能很快建立空間直角坐標系的題目中，有時應用向量運算會更繁.所以，對于一些傳統的證題、解題方法還是應該要求學生熟練掌握的，這樣不僅能培養(yǎng)學生的空間想象能力而且對培養(yǎng)學生的邏輯思維能力也是大有裨益的.

(責任編輯 金 鈴)