利用等差(比)中項(xiàng)公式巧解三角函數(shù)題

等差(比)中項(xiàng)公式可以解決數(shù)列中的很多問題，是高考中的一個(gè)重要考點(diǎn)，為了體現(xiàn)它與三角函數(shù)知識(shí)有機(jī)的結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，本文舉例說明如何用等差(比)中項(xiàng)公式巧解三角函數(shù)題，以供參考.

1.利用等差(比)中項(xiàng)公式求三角函數(shù)值

【例1】 已知sinα+cosα=15，α∈(0，π)，求tanα.

解:∵sinα+cosα=2×110，

∴sinα、110、cosα成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，

則sinα=110-d，cosα=110+d.

由sin2α+cos2α=1，知d=±710，

當(dāng)d=-710時(shí)，sinα=810，cosα=-610，tanα=-43;

當(dāng)d=710時(shí)，sinα=-610<0與α∈(0，π)不符，

∴tanα=-43.

【例2】 已知sinαcosα=1225，α∈(0，π4)，求tanα.

解:∵sinαcosα=1225=(125)2，

∴sinα、125、cosα成等比數(shù)列，設(shè)公比為q，

∴sinα=125q，cosα=12q5.

由sin2α+cos2α=1知q2=43(或34).

又∵α∈(0，π4)，

∴sinα、cosα均為正，q>0，

∴q=23(或32).

當(dāng)q=23時(shí)，sinα=610，cosα=45，tanα=34;

當(dāng)q=32時(shí)，tanα=34舍去(∵α∈(0，π4)，tanα<1).

∴tanα=34.

2.利用等比中項(xiàng)公式求三角函數(shù)式的取值范圍

【例3】 已知sinαsinβ=12，求cosαcosβ的取值范圍.

解:∵sinαsinβ=12，sin2αsin2β=14，

∴sin2α、±12、sin2β成等比數(shù)列.

①若sin2α、12、sin2β成等比數(shù)列，

則sin2α=12q，sin2β=q2(12≤q≤2).

∴M2=sin2αsin2β=(1-sin2α)(1-sin2β)=(1-12q)#8226;(1-q2)

=54-(12q+q2)≤14(當(dāng)且僅當(dāng)q=1時(shí)，等號(hào)成立)，

∴-12≤M≤12，即-12≤cosαcosβ≤12.

②若sin2α、-12、sin2β成等比數(shù)列，同理可得

-12≤cosαcosβ≤12.

綜上所述，-12≤cosαcosβ≤12.

3.利用等比中項(xiàng)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)

【例4】 化簡(jiǎn)1+sinx+cosx1+sinx-cosx+

1+sinx-cosx1+sinx+cosx

.

解:∵1-cos2x=sin2x，即(1-cosx)(1+cosx)=sin2x.

∴1-cosx、sinx、1+cosx成等比數(shù)列.

故可設(shè)1-cosx=sinxq，1+cosx=qsinx.

則原式=(1+q)sinx(1+1q)sinx+(1+1q)sinx(1+q)sinx=q+1q=1+cosxsinx+1-cosxsinx=2cscx.

4.利用等比中項(xiàng)公式證明有關(guān)三角函數(shù)題

【例5】 在△ABC中，lgtanA+lgtanC，求證:π3≤B<π2.

證明:由題設(shè)知tanA，tanB，tanC均為正數(shù)，

∴A、B、C為銳角，且tanA，tanB，tanC成等比數(shù)列.

故可設(shè)tanA=1qtanB，tanC=qtanB(q>0)，

則tanA+tanC=(1q+q)tanB.

又∵tanA+tanC=tan(A+C)(1-tanAtanC)=-tanB(1-tan2B)，

故-tanB(1-tan2B)=(1q+q)tanB.

∴tan2B=q+1q+1≥3.

于是tanB≥3(當(dāng)且僅當(dāng)q=1時(shí)，即A=B=C=π3時(shí)取等號(hào)).

∵tanB在區(qū)間(0，π2)上為增函數(shù)，∴π3≤B<π2.

(責(zé)任編輯 金 鈴)