解讀復合場中做圓周運動物體的“最高點”和“最低點”

通常所說的最高點和最低點，是指物體僅在重力作用下時，沿豎直方向相比較的最上面點和最下面點.當物體在復合場中做圓周運動時，我們把物體在沿著所受復合場力的方向上相比較，最上面的點和最下面的點稱為等效“最高點”和“最低點”，這也是我們通常所說的物體在復合場中做圓運動時的“最高點”和“最低點”.理解和掌握這方面的知識可給解題帶來很大的方便.

圖1

【例1】 如圖1所示，在水平向右的勻強電場中，有一質量為m的帶正電的小球，用長為L的絕緣細線懸掛于O點，當小球靜止時細線與豎直方向夾角為θ.現給小球一個垂直于懸線的初速度，使小球恰能在豎直平面內做圓周運動.問:

(1)小球在做圓周運動的過程中，哪一位置速度最小?最小值多大?

(2)小球在B點的初速度多大?

分析與解答:小球在做圓周運動的過程中，所受的重力和電場力均為恒力，這兩個力的合力大小為F=mg/cosθ，其方向斜向右下方，且與豎直方向成θ角，沿此方向的直徑與圓周相交的兩個點就是復合場中的“最高點”和“最低點”，如圖1所示，A為“最高點”，B為“最低點”.

(1)由上面分析可知，小球運動到B點時的速度最大，在A點時速度最小，設小球在A點時的速度為vA，此時細線的拉力為0，此時小球做圓周運動的向心力由電場力和重力的合力提供，即為mg/cosθ，因此由牛頓第二定律有:

mgcosθ=mv2AL

vA=gLcosθ

(2)小球在電場力和重力的作用下由A點運動到B點，由動能定理得:

qE2Lsinθ+mg2Lcosθ=12mv2B-12mv2A

又qE=mgtanθ

解得:vB=5gLcosθ

圖2

【例2】 一條長為L的細線上端固定在O點，下端系一個質量為m的小球，將它置于一個很大的勻強電場中，電場強度為E，方向水平向右，已知小球在B點時平衡，細線與豎直線的夾角為α，如圖2所示，求:

(1)當懸線與豎直方向的夾角為多少時，才能使小球由靜止釋放后，細線到豎直位置時，小球的速度恰好為零.

(2)當細線與豎直方向成α角時，至少要給小球一個多大的沖量，才能使小球做圓周運動?

圖3

分析與解答:(1)小球在B點的受力情況如圖3所示，由于小球是在勻強電場和重力場的復合場中運動，B點為復合場中的“最低點”，小球在A、C間的運動類比一單擺，B點為振動的平衡位置，A、C點為最大位移處，由對稱性可得出結論:φ=2α.

(2)繩系小球在復合場中運動時，其等效“最高點”點為D，“最低點”為B，在D點時，由牛頓第二定律有:

mg/cosα=mv2DL

由動能定理有:qE2Lsinα+mg2Lcosα=12mv2B-12mv2D，

圖4

且qE=mgtanα

解得:vB=5gLcosα

所以給小球施加的沖量至少應為:

I=m5gLcosα.

【例3】 半徑為r的絕緣光滑圓環固定在豎直平面內，環上套有一質量為m，帶正電的珠子，空間存在水平向右的勻強電場，如圖5所示，珠子所受的靜電力是其重力的34倍，將珠子從環上最低位置A點由靜止釋放，則珠子所能獲得的最大動能EK為多少?

分析與解答:珠子受到的重力mg和電場力qE的合力如圖6所示，合力與豎直方向夾角為θ，則

圖5圖6

tanθ=qEmg=34，

所以θ=37°

在此復合場中B點為“最低點”，與豎直方向的夾角為θ，珠子在B點時動能最大，珠子在由A點運動到B點的過程中，應用動能定理有:

-mgr(1-cosθ)+qErsinθ=EK.

EK=14mgr.

從以上例題可以看出，求帶電粒子在電場及重力場的復合場中的運動問題，在分別考慮重力和電場力的條件下，無論從力的觀點，還是從能的觀點求解都十分繁瑣，這種情況下建立等效的復合場模型，往往可以使求解過程大為簡化.

(責任編輯 易志毅)