高考立體幾何復習中兩個重要的關注點

立體幾何作為高考的重點內容，每年一般有一道解答題和兩道小題，占分值的15%左右.由于空間向量的引入，很大程度上壓縮了立體幾何的空間思維容量，簡化了夾角和距離的度量計算，在問題處理上可以采用綜合推理方法與向量方法相互補濟、揚長避短的策略，從而使立體幾何的問題處理方法靈活多樣.雖然高考中立體幾何題目的難度設置一般為中檔題目，但由于其對演繹思維及空間想象能力的要求都較高，導致許多考生的得分并不理想，因此如何有效地復習這一部分內容，需要我們將“原來積累的廣泛但不系統的學習體驗和占有的信息資源進行全面歸納和總結，通過整合提煉”，以形成一些成熟的解題方法.

關注點一、突出對平面圖形的度量計算

立體幾何平面化的思想，本身就是解決諸多立體幾何問題的有效途徑，比如一些角度、距離問題，最終歸結到平面內定義和度量，而一些特殊位置關系的發現和判定，又往往要依托或借助于特定平面來完成，這其中最顯著的是垂直關系的挖掘.在近幾年的高考試題中，我們也注意到，突出對平面圖形特別是三角形形狀的把握，主要從度量關系中進行計算，尋找和挖掘垂直關系，已成為高考試題設計中一個醒目的特點.

圖1

【例1】 (2007，江西)圖1是一個直三棱柱(以A1B1C1為底面)被一平面所截得的幾何體，截面為ABC.已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3.

(1)設點O是AB的中點，證明:OC∥平面A1B1C1;

(2)求二面角B一AC—A1的大小;

(3)略.

評析:第(2)問中，欲求二面角，需要思考如何恰當作出二面角的平面角，所謂恰當，即指所作出的平面角要很好地與題設條件聯系起來，以便于計算二面角的大小.在圖示的斜截面中過最低點B作底面的平行截面后，根據勾股定理分別計算出AB、BC、CA的長度，可以發現ABC是以C為直角頂點的直角三角形，即有BC垂直于棱AC，至此，作出B在面A1C1CA以上的射影，用三垂線定理構造二面角的平面角并計算平面角大小的思路赫然形成(顯然，B到平面AA1C1C的距離即B1到A1C1的距離)，本題求解中，計算ABC各邊的長度并把握ABC的形狀是關鍵所在.

圖2

【例2】 (2007，陜西)如圖2，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=23，BC=6.

(1)求證:BD⊥平面PAC;

(2)求二面角A—PC—D的大小.

評析:第(1)問的證明，主要在于直角梯形ABCD中AD、AB、BC的長度已知，故通過兩個Rt△BAD和Rt△ABC容易計算出∠ABD=30°，∠BAC=60°，從而∠AEB=90°，即BD⊥AC;第(2)問中，由第(1)問的結果，知DE⊥面PAC，而這一線面垂直關系，奠定了用三垂線定理作出二面角的基礎，過E作EF⊥PC，則∠DFE為所求.而在Rt△DEF中計算∠DFE的大小，又需DE、EF的長度，問題又歸結于Rt△AED及Rt△PAC中的度量計算.本例中，三角形形狀的把握以及相似三角形度量關系的計算，是貫穿題目始終的一條主線.

關注點二、加強和深化基底向量法

由于在立體幾何中引入了向量方法，使得原本比較抽象的空間關系變得易于處理，特別是為一些夾角和距離的計算找到了一個行之有效的方法.比如，利用平面的法向量可以方便地解決線面角、面面角、點到平面的距離、異面直線的距離等問題.向量方法中，坐標向量法將幾何代數化的特征彰顯得淋漓盡致，它將繁難的邏輯推理與論證轉化為簡明易算的代數運算，從而大大弱化了立體幾何的空間思考容量，也正因如此，它備受高考命題者的青睞.同時，在中學教學特別是高三階段的組織復習中，學生大量訓練的，也是教師著力講授和指導的，主要是直角坐標系下的坐標向量法，相比之下，以空

圓錐曲線中焦點分焦點弦所成的比與焦點弦間向量基本定理為基礎的基底向量法，在高三復習中往往沒有得到應有的重視，這很大程度上歸因于高考試題的設計.事實上，高中教材中安排了大量的課時讓學生學習基底向量法，在研究空間平行與垂直等位置關系以及角度距離等度量關系中的應用，坐標向量法不過是空間向量基本定理應用中的特例.如果高三復習過程中一直運用坐標向量法，顯然是對空間向量研究立體幾何方法的偏頗之舉，不能充分體現空間向量的知識性和工具性作用.下面，摘選一個例子來說明基底向量法在處理立體幾何問題中的致簡功能和優越之處.

圖3

【例3】 如圖3，直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A1C，求證:AB1=A1C.

評析:由于題設中涉及的三條直線兩兩異面，且題設與結論的關聯程度很小，此題若采用傳統的綜合推理方法，溝通題設與結論之間的思路則很難形成.

事實上該問題的求解需

要補

形思

想，而

補形方法又是思維程度較高的解決方法，于是轉向向量方法，取基底{AB，AC，AA1}—{a，b，c}，

代入條件BC1⊥AB1，可得

b#8226;a-a2+c2=0，(1)

代入條件BC1⊥A1C，可得

b2-a#8226;b-c2=0.(2)

由(1)(2)可知a2=b2，即|a|=|b|，在直三棱柱中，易知Rt△ABB1≌Rt△CAA1，從而證得AB1=A1C.

參考文獻:

[1]羅增儒，趙婧一.由考題談垂直——高考立體幾何解題的一個關鍵[J].中學數學教學參考，2007，3.

[2]紀昌武.高二教科書下(A)下(B)整合的研究與實踐[J].中學數學教學參考，2007，2.

[3]王春燕.高中數學向量知識的內容定位與教學建議[J].數學通訊，2007，3.

(責任編輯 金 鈴)