常見遞推數列通項公式的求解策略

一、遞推式為an+1=pan+q(p，q為常數)型

【例1】 已知數列{an}中，a1=1，對于n>1(n∈N*)有an=3an-1+2，求an

策略一:充分利用遞推式，通過對n取n-1，n-2，…，3，2進行疊代尋求答案.

略解:由an=3an-1+2，n取n-1，n-2，…，3，2，

則有an-1=3an-2+2，an-2=3an-3+2，…，a3=3a2+2，a2=3a1+2，

由此進行疊代則得an=3n-1#8226;a1+2(3n-2+3n-3+…+1)，

從而求得:an=2#8226;3n-1-1.

當n=1時，a1=1仍滿足上式，故所求數列{an}的通項公式為an=2#8226;3n-1-1(n∈N*).

策略二:消去遞推式中的常數，尋求數列“模式”——等差或等比數列模式.

略解:由an=3an-1+2得an+1=3an+2，

兩式相減:an+1-an=3(an-an-1).

令xn=an+1-an，則xn-1=an-an-1，從而數列{xn}為等比數列，其中首項為x1=a2-a1=1，公比q=3.

由于其前n-1項和為Sn-1=an-a1=4(3n-1-1)3-1，

故有an=2#8226;3n-1-1(n∈N*).

策略三:進行數列代換，促使其數列向“等差，等比數列”轉化.

略解:設數列{xn}滿足關系式xn=an+y(y待定)，

則xn-1=an-1+y，從而有an-1=xn-1-y，an=xn-y，

由此進代換得:xn-y=3(xn-1-y)+2，

即xn=3xn-1-2y+2.

令-2y+2=0得y=1，則數列{xn}為首項是x1=a1+y=2，公比q=3的等比數列，其通項公式xn=2#8226;3n-1，

從而可求得數列{an}的通項公式為an=2#8226;3n-1-1(n∈N*).

二、遞推式為an+1=pan+q型

【例2】 已知數列{an}滿足a1=1，an=an-1+3n-1，求an.

策略:將an+1=pan+qn向an+1=pan+q轉化.

略解:由an=an-1+3n-1得an3n=an-13#8226;3n-1+13.

令xn=an3n，則xn-1=an-13n-1，從而有xn=13xn-1+13.

數列{xn}為an+1=pan+q型遞推數列(以下略)，

由此可得出an=12#8226;3n-12(n∈N*).

三、遞推式為an+1=an+bn型

遞推式為an+1=an+bn型數列的通項公式求解策略一般是:由an+1=an+bn可得:an+1-an=bn，若數列{bn}可求和，則數列{an}可求解.

【例3】 已知{an}中，a1=12，an+1=an+14n2-1，求an.

略解:由an+1=an+14n2-1得an+1-an=14n2-1，

而數列{14n2-1}可求和，從而數列{an}的通項公式an可求得.

n取n，n-1，n-2，…2，1得n個等式

an+1-an=14n2-1=12(12n-1-12n+1)，

an-an-1=12(12n-3-12n-1)，

……

a2-a1=12(1-13).

以上n個等式兩邊相加得an+1-a1=12(1-12n+1)，

從而得an+1=4n+14n+2，即an=4n-34n-2(n∈N*).

四、遞推式為an+2=pan+qan(p≠0，q≠0)型

策略:設an+2-Aan+1=B(an+1-Aan)，即

an+2=(A+B)an+1-ABanA+B=p，AB=-q，求得A、B之值，從而構造一個公比為B的等比數列{an+1-Aan}，將問題轉化為第一種類型求解.

【例4】 已知數列{an}中a1=1，a2=2，an+2=23an+1+13an，求an.

略解:設an+2-Aan+1=B(an+1-Aan)，

即an+2=(A+B)an+1-ABan.

由A+B=23，A#8226;B=13解得A=1，B=-13.

故an+2=23an+1+13an可化為an+2-an+1=-13(an+1-an).

令xn=an+1-an，則xn+1=an+2-an+1.從而數列{xn}是公比為q=-13，首項為x1=a2-a1=1的等比數列.

其通項公式為xn=(-13)n-1，即an+1-an=(-13)n-1問題轉化為第二種類型(以下解法略)，從而不難求得其通項公式為an=74-34(-13)n-1(n∈N*).

(責任編輯 金 鈴)