作空間幾何體截面的方法

解決立體幾何的一般思路是，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.而過不共線三點，作幾何體的截面，是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的一個方法.本文就來介紹過空間不共線三點作空間幾何體的截面的一些常見方法.

1.直接連結(jié)法

【例1】 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分別是棱A1B1、B1C1、BB1的中點，畫出過P、Q、R三點的截面.

圖1

分析:因為P、Q、R三點在長方體的棱上，且兩兩在長方體同一個側(cè)面或底面內(nèi)，直接連結(jié)兩點即可(見圖1).

小結(jié):有兩點在幾何體的同一個面上，連結(jié)該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面實際就是一個找交線的過程.

2.作平行線法

【例2】 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，P是棱BB1的中點，畫出過A1、D1、P三點的截面.

圖2

分析:連結(jié)A1P，因為平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以只要過P作A1D1的平行線就可以了.取CC1的中點Q，連結(jié)PQ，則A1D1∥PQ.連結(jié)D1Q，得到截面A1PQD1(見圖2).

小結(jié):過直線與直線外一點作截面，若直線所在的平面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線.

3.作延長線找交點法

【例3】 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是棱AB、BC的中點，畫出過D1、M、N三點的截面.

圖3

分析:連結(jié)MN，延長NM、DA交于一點E，∵E∈面D1MN∩面A1ADD1，D1∈面D1MN∩面A1ADD1，∴ED1=面D1MN∩面A1ADD1.連結(jié)ED1交AA1于點P.連結(jié)D1P、PM.

同理找到Q，連結(jié)D1Q、QN，得到截面D1PMNQ(見圖3).

【例4】 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分別是棱AB、BC、AA1的中點，畫出過P、Q、R三點的截面.

圖4

分析:連結(jié)QP，延長QP與DA交于一點E，連結(jié)ES交AA1于R，連結(jié)SR、RP，取D1C1和CC1的中點M、N，連結(jié)MN、NQ，易證SM∥PQ，MN∥PR，NQ∥SR.得到截面PQNMSR.

4.輔助平面法

以上所作截面的棱上三點中至少有兩點在一個側(cè)面或底面上，若三點中兩兩都不在一個側(cè)面或底面中，則在作截面時需要作一個輔助平面.

【例5】 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、P分別是棱AA1、BC、D1C1的中點，畫出過E、F、P三點的截面.

圖5

分析:首先過E、F作一個輔助平面.過F作直線FK∥BB1交B1C1于K，連結(jié)A1K、AF，則有FK∥AA1，得到輔助平面A1AFK，連結(jié)FE并延長交KA1的延長線于H，連結(jié)HP交A1D1于Q，并延長交B1C1的延長線于R，連結(jié)RF交CC1于N，并延長BB1的延長線于G，連結(jié)GE交AB于M，再連結(jié)EQ、MF、PN，就得到截面EQPNFM(見圖5).

【例6】 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E是底面A1C1上的一點，F(xiàn)是側(cè)面AB1上的一點，K是底面AC上的一點，畫出過E、F、K三點的截面.

圖6

分析:過F作OS∥BB1，交AB于O，交A1B1于S，連結(jié)OK并延長交BC于U，作UT∥BB1交B1C1于T，連結(jié)TS、KF延長交于X，連結(jié)XE交A1D1于P，交D1C1于N，并延長交B1C1于Y，延長FK交TU的延長線于V，連結(jié)YV交CC1于M，交BC于H，連結(jié)HK，延長交AB于G，連結(jié)GF，延長交AA1于Q，連結(jié)QP就得到截面PQGHMN(見圖6).

(責任編輯 金 鈴)