把握數學課堂有效教學的起點

實施新課程以來，不斷有人提出數學教學的有效性問題，并隨之而形成了若干以“有效”為熱點的討論話題.“有效數學課堂”也成為數學課程改革的關鍵詞之一，而要想達到“有效數學課堂”首先得把握數學課堂有效教學的起點.下面筆者就結合二項式定理的課堂教學片斷，談談如何把握數學課堂有效教學的起點.

【教學片斷】

師:(a+b)2的展開式是什么?

生:(a+b)2=a2+2ab+b2.

師:好!怎么算的?

生1:利用乘法計算公式得到.即(a+b)2=(a+b)#8226;(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2.

師:謝謝!那么(a+b)3的展開式呢?

筆者敏感地覺察到當前學生的學習需要是(a+b)3展開式的計算過程，而有效課堂教學要求了解學生并應關注他們的具體需求.因此，我立即組織學生投入到(a+b)3展開式的計算過程中去，通過請學生上黑板演算，讓課堂教學真正進入有效教學的起點.

生2:(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3.

師:很好!有哪位同學知道(a+b)4的展開式?

生3:(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

師:對!我們可以依次寫出(a+b)5、(a+b)6…的展開式.

生4:這樣是不是很麻煩?能否找到一種方法可以直接寫出(a+b)n的展開式呢?

師:這個問題提得很好，為了尋找方法，我們改變一下思考角度，先分析(a+b)4乘法的原始過程:

(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)

=()a4+()a3b1+()a2b2+()a1b3+()b4.

為了便于學生探究，筆者出示學生認知結構中已有的知識和經驗:4個袋中有紅球、白球各一個，每次從4個袋子中各取一個球，有什么樣的取法?

生5:(1)若每個袋子都不取白球，共有C04種取法;

(2)若只有一個袋子取白球，共有C14種取法;

(3)若只有兩個袋子取白球，共有C24種取法;

(4)若只有三個袋子取白球，共有C34種取法;

(5)若每個袋子都取白球，共有C44種取法.

師:很好!如果把括號看成袋子，紅球和白球分別看成a和b，括號里應怎樣填呢?

生6:(1)若每個括號都不取b，只有一種取法得到a4即C04種;

(2)若只有一個括號取b，共有C14種取法得到a3b1;

(3)若只有兩個括號取b，共有C24種取法得到a2b2;

(4)若只有三個括號取b，共有C34種取法得到a1b3;

(5)若每個括號都取b，共有C44種取法得b4.

因此(a+b)4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34a1b3+C44b4.

師:請同學們歸納并猜想(a+b)n=?

生7:由n=1，2，3，4時分別有2，3，4，5項，很容易猜出(a+b)n的展開式有n+1項，分別是an，an-1b，an-2b2，…，abn-1，bn等項，系數分別是C0n，C1n，C2n，…，Cn-1n，Cnn，所以整個展開式是:

(a+b)n=C0nan+C1nan-1b1+C2nan-2b2+…+Cn-1nabn-1+Cnnbn(n∈N*).

由于該展開式沒有體現二項式定理展開式的特征項，需要進一步引導.

師:各項a、b的指數之和是多少?體現展開式的項的特征的通項是多少?是第幾項?請進一步寫出準確的展開式.

生8:各項a、b的指數之和是n，體現展開式的項的特征的通項是an-rbr，是第r+1項，因此:

(a+b)n=C0nan+C1nan-1b1+C2nan-2b2+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn(n∈N*).

師:這就是我們這節課學習的二項式定理.

【反思】當學生走進數學課堂的時候，他們對數學有了自己的認識和感受，隨后的學習也是在其已有知識經驗的基礎上進行的.因此，了解學生的現有狀況，并從學生現有狀況出發去實施教學，是從事課堂有效教學的起點，也是現代數學課堂教學的規定性要求.因此，筆者結合這些學生已有的知識，從最簡單的、學生最熟悉的二項完全平方展開式開始，用問題串的形式引導學生自主探索，使學生自主探討(a+b)n的展開式是什么，讓學生感到這個問題是自己順其自然想出來的，“不知不覺”中完成了二項式的證明.另外在教學過程中，筆者根據學生的學習需要，及時調整教學內容，讓學生能夠有效學習.當然把握數學課堂有效教學的起點只是“有效數學課堂”的一部分，而本文也只是截取了筆者教學實踐中的一個片斷來探討如何把握數學課堂有效教學的起點，對把握數學課堂有效教學起點進行研究從而最終達到“有效數學課堂”還有大量工作要做，這都需要廣大數學教育工作者更為深入的研究.

(責任編輯 金 鈴)