構造法求遞推數列的通項公式舉隅

數列是高中數學的重要知識，也是高考考查的重點，而求遞推數列的通項公式問題，多年來一直是高考久考不衰的熱點題型.尤其是近年來全國高考試卷十分明顯，直接求此類問題的通項公式，許多學生常感到困惑不解，有時更是束手無策，其實此類問題可通過變形，轉化為等差或等比數列，使問題得到解決.

一、構造等差數列，求數列的通項公式

【例1】 已知數列{an}中，a1=1，an+1=2anan+2，求數列{an}的通項公式.

解:將整個式子取倒數得1an+1=an+22an=1an+12，所以數列{1an}是以1a1=1為首項，12為公差的等差數列.故1an=1+12(n-1)=n+12，即an=2n+1.

【例2】 已知數列{bn}中，b1=2，bn+1=2bn+3#8226;2n，求數列{bn}的通項公式.

解:由bn+1=2bn+3#8226;2n得bn+12n+1=bn2n+32，數列{bn2n}是以b12=1為首項，公差為32的等差

數列.

∴bn2n=1+32(n-1)=32n-12.

∴bn=2n-1(3n-1).

【例3】 已知正數數列{an}的前n項和為Sn，Sn=12(an+1an)，求數列{an}的通項公式.

解:當n≥2時，將an=Sn-Sn-1代入Sn=12(an+1an)中得Sn=12(Sn-Sn-1+1Sn-Sn-1)，

變形為Sn+Sn-1=1Sn-Sn-1，所以S2n-S2n-1=1，而S1=12(a1+1a1)，

∴a1=S1=1.

∴{S2n}是以S21=1為首項，公差為1的等差數列，所以S2n=n.又an>0，故Sn=n.

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n-n-1，當n=1時，S1=1，又a1=1，所以an=n-n-1.

【例4】 已知數列{an}中，Sn=an2+1an-1，且an>0(n∈N+)，求數列{an}的通項公式.

解:當n≥2時，Sn=Sn-Sn-12+1Sn-Sn-1-1，整理得(S2n+2Sn)-(S2n-1+2Sn-1)=2，所以{S2n+2Sn}

是以S21+2S1為首項，2為公差的等差數列.當n=1時，S1=a12+1a1-1，又a1=S1，即

S21+2S1=2，所以S2n+2Sn=2+2(n-1)=2n，解得Sn=2n+1-1，Sn=-2n+1-1(舍去).

∴Sn=2n+1-1.當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n+1-2n-1.

當n=1時，a1=3-1，而S1=3-1，所以an=2n+1-2n-1.

點評:有的數列題中，直接給出了數列{an}中an+1=bankan+b的遞推式，我們可以取倒數變形為1an+1-1an=kb，轉化為等差數列求解;有的數列題中，并未直接給出數列{an}中an+1與an的遞推式，把其本質特征加以隱藏，卻給出Sn+1與Sn的遞推式或Sn與an的遞推式，這時首先需運用恒等式an+1=Sn+1-Sn(n∈N+)，通過代入、作差，轉化為an+1與an的遞推式，或Sn與Sn-1的遞推式，使問題露出真面目，正好與等差數列定義吻合，求出an，或求出Sn后再求出an，這類試題在高考中最為常見.

二、構造等比數列，求數列的通項公式

【例5】 已知數列{an}，其中a1=43，a2=139，且當n≥3時，an=43an-1-13an-2，求數列{an}的通項公式.

解:把an=43an-1-13an-2變形為an-an-1=13(an-1-an-2)(n≥3)，

∴an+1-an=13(an-an-1)(n≥2)，

即an+1-anan-an-1=13.

∴數列{an+1-an}是以a2-a1=19為首項，公比為13的等比數列，所以

an+1-an=(a2-a1)(13)n-1=(13)n+1，

再利用疊加法，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(13)n+(13)n-1+…+(13)2+(13+1)=32-12(13)n(n≥1，n∈N).

【例6】 已知{an}是首項為a1的正項數列，且an+1=a2na(n≥1，a>0)，求{an}的通項公式.

解:由an+1=a2na兩邊取對數得lgan+1=2lgan-lga，即lgan+1a=2lgana.故{lgana}是公比

為2，首項為lga1a的等比數列，∴lgana=2n-1#8226;lga1a=lg(a1a)2n-1.

∴an=a#8226;(a1a)2n-1.

點評:在正項數列中，形如(an+1)p=q(an)r，可通過取對數化為線性遞推式an+1=can+d，再構造一個新的等比數列，使問題順利得到解決.

【例7】 數列{an}中，a1=56，an+1=13an+(12)n+1，求數列{an}的通項公式.

解:由an+1=13an+(12)n+1變形為

an+1+λ(12)n+2=13an+(12)n+1+λ(12)n+2=13an+(1+λ2)(12)n+1=13[an+3(1+λ2)(12)n+1].

設λ=3(λ2+1)，解得λ=-6.

∴an+1-6(12)n+2=13[an-6(12)n+1].

于是{an-6(12)n+1}是以a1-6(12)2=-23為首項，公比為13的等比數列，

且an-6(12)n+1=-23#8226;(13)n-1，即an=6[(12)n+1-(13)n+1].

【例8】 在數列{bn}中，b1=7，bn+1=5bn+2#8226;3n+1-4，求數列{an}的通項公式.

分析:為使原遞推式兩端項數相同，并滿足同一對應關系，可知左端應添加含3n+2的項及常數項，故需設兩個待定系數λ1，λ2，將原遞推式進行恒等變形.

解:bn+1+λ1#8226;3n+2+λ2=5bn+2#8226;3n+1+λ1#8226;3n+2+λ2-4=5(bn+3λ1+25#8226;3n+1+λ2-45).

為使bn+1+λ1#8226;3n+2+λ2與bn+3λ1+25#8226;3n+1+λ2-45滿足f(n)=an+λ1#8226;3n+1+λ2的對應關系.令λ1=3λ1+25，λ2=λ2-45，解得λ1=1，λ2=-1.

∴bn+1+3n+2-1=5(bn+3n+1-1)，于是數列{bn+3n+1-1}是以bn+32-1=15為首項，5為公比的等比數列.易得bn+3n+1-1=15#8226;5n-1，即bn=3#8226;5n-3n+1+1.

點評:為使原遞推式兩邊項數相同，有的需設一個待定系數，有的需設兩個待定系數，轉化為等比數列，使問題得到解決.

(責任編輯 金 鈴)