對集合中易誤解的定義釋疑

高中數學的教學注重學生對概念的理解，集合一章定義多、符號多，如果對課本研究不夠，很容易導致對概念或符號定義產生誤解，因此必須以課本為主，讀通吃透課本，切勿斷章取義.現舉例說明如下.

一、關于集合與元素符號定義的誤解

【例1】 (人教版數學第一冊P12練習第1題)設A={3，5，6，8}，B={4，5，7，8}，求

A∩B.

解法一:因為A∩B={x|x∈A，且x∈B}(課本定義)，答案為

{5}或{8}或{5，8}.解釋如下:因為5∈A且5∈B，所以{5}滿足題意，其余同理.

解法二:A∩B={5，8}，解釋為:A∩B為所有屬于A且屬于B的元素的集合，故{5，8}符合題意.

釋疑:兩種解法的的解釋都有其依據，從符號語言上來看，解法一似乎

更具說服力，但卻是錯的，只有解法二才是正確的.解法一是由于

對課本概念理解不透徹而引起的誤解.注意課本上對交集的定義

如下:一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A與B的交集，記作A∩B(讀作“A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.解法一就錯在了沒有注意到“所有”這兩個字上.

二、未能弄清集合中代表元素的形式造成的誤解

【例2】 設A={(x，y)|y=-4x+6}，B={(x，y)|y=-5x-3}則A∩B=__________.

錯解:由方程組y=-4x+6，y=5x-3，

解得x=1，y=2.

故A∩B={1，2}.

釋疑:導致錯誤的原因是沒有正確理解集合元素的含義，A、B中的元素

是有序數對，故A∩B={(1，2)}.

上述的解法都是把集合中的代表元素搞錯了，集合是由元素構成的，認識集合要從認識元素開始，忽視代表元素的含義，將出現錯誤.集合中的代表元素的表現形式是多種多樣的.進行集合運算，認識集合的元素是什么，是掌握集合概念的基本要求.

三、對函數單調區間理解錯誤造成的誤解

【例3】 寫出函數y=1x上單調區間.

錯解:函數的單調遞減區間為(-∞，0)∪(0，+∞).

釋疑:本題解答錯在結論中使用了并集符號“∪”.事實上，如果函數的單調區間為(-∞，0)∪(0，+∞)，在此集合上取兩個兩個值:x1=-1，x2=2，此時x1

四、對±∞認識的錯誤

【例4】 求函數y=x的定義域.

錯解:定義域為[0，+∞].

釋疑:±∞是數的變化的趨勢，不是數，所以不可以取等號.正確答案

為[0，+∞).

五、命題的否定與否命題

【例5】 寫出命題“對任意的實數a，b，若x2+ax+b≤0有非空實解集，則

a2-4b≥0”的否命題與命題的否定.

錯解:否命題:已知a，b為實數，若x2+ax+b≤0沒有非空實解集，則a2-4b<0.

命題的否定:存在兩個實數a，b，雖然滿足x2+ax+b≤0有非空實解集，

但是a2-4b<0.

釋疑:“命題的否定”與“否命題”這兩個概念十分相似，它們的共同點是

都有一個“否”字，都要對原命題的結論作出否定.但它們又有質的區

別，“命題的否定”是在肯定原命題的條件下否定原命題的結論，而

“否命題”是在否定它的條件的前提下否定它的結論.對一些

相似的概念，我們一定要防止概念間的相互干擾.

六、對y=f-1(x+1)的概念理解不透徹導致的錯誤

【例6】 已知f(x)=2x-3，求f-1(x+1).

錯解:∵f(x)=2x-3，∴f(x+1)=2x-1，

∴f-1(x+1)=12(x+1).

釋疑:此題的錯誤在于先求f(x+1)，再求f-1(x+1)，實際上是求x對應2x

-1時的反函數，錯誤是由于概念不清，方向不明造成的.f-1(x+1)的含義

為:函數f(x)的反函數f-1(x)當自變量取x+1時的函數值.

正解:

∵f(x)=2x-3，∴f-1(x)=12(x+3)，

∴f-1(x+1)=12[(x+1)+3]=12(x+4).

∴f-1(x+1)=12(x+4).

(責任編輯 金 鈴)