如何確定不等式恒成立的參數(shù)的取值范圍

確定不等式恒成立的參數(shù)的取值范圍，是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，也是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，然而，怎樣確定其取值范圍呢?本文就此類問題的幾種基本解法加以論述.

一、利用一次函數(shù)的性質(zhì)

一次函數(shù)y=f(x)=ax+b在x∈[m，n]上恒大于零的充要條件是:a>0，f(m)>0或a<0，f(n)>0或f(m)>0，f(n)>0.(對于y=f(x)=ax+b恒小于零的條件亦可類似給出).

【例1】 已知滿足p=4sin4α，α∈[π6，5π6]的所有實(shí)數(shù)p，不等式x2+px+1>2x+p恒成立，求x的取值范圍.

解:由α∈[π6，5π6]知sinα∈[12，1]，從而有p=4sin4α，α∈[14，4].

現(xiàn)在考察關(guān)于p的一次函數(shù)f(p)=(x-1)p+(x2-2x+1)恒為正的條件:顯然，當(dāng)x=1時(shí)，f(p)>0不成立，所以x≠1，依一次函數(shù)的性質(zhì)可知，只要

x-1>0，f(14)=14(x-1)+(x2-2x+1)>0

或x-1<0，f(4)=4(x-1)+(x2-2x+1)>0，

故x>1或x<-3.

故對于一切p∈[14，4]恒有f(p)>0的x的取值范圍是{x|x>1或x<-3}.

說明:在不等式恒成立的問題中，若主元(或參數(shù))

能變?yōu)橐淮涡问剑瑒t可以利用一次函數(shù)的性質(zhì)來解.

二、解集比較法

集合A上恒成立的不等式意即不等式的解集以A為子集.據(jù)此，可求出不等式的解集并研究集合間的包含關(guān)系，進(jìn)而求出參數(shù)取值范圍的方法.但此法較為原始，易使問題陷入困境.

【例2】 已知|x-52|

解:由|x-52|-a

三、函數(shù)最值法

不等式f(x)>a恒成立等價(jià)于f(x)min>a;不等式f(x)

【例3】 若不等式2x-1>m(x2-1)對滿足-2≤m≤2的一切m都成立，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

分析:若將原問題轉(zhuǎn)化為集合[-2，2]是原關(guān)于m的不等式的解集的子集，則不可避免地要分類討論.若令f(m)=(x2-1)m-(2x-1)，則可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(m)在區(qū)間[-2，2]上的最大值小于零.而f(m)是“線性函數(shù)”或“常數(shù)函數(shù)”，其最值在區(qū)間端點(diǎn)取得，故f(-2)<0且

f(2)<0，解之得，x的取值范圍是(7-12，3+12).

說明:二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來研究恒成立問題，可使原本復(fù)雜的問題變得易于解決.

四、分離參數(shù)

將參變元與主變元從恒不等式中彼此分離，可更簡捷地實(shí)施“函數(shù)最值法”.

【例4】 已知不等式1n+1+1n+2+…+12n>112#8226;

loga(a-1)+23對于一切大于1的自然數(shù)n都成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解:設(shè)f(n)=1n+1+1n+2+…+12n(n≥2且n∈N)，

∵f(n+1)-f(n)

=12n+1+12n+2-1n+1

=1(2n+1)(2n+2)>0.

∴f(n+1)>f(n)，即f(n)是關(guān)于n的遞增函數(shù).

故有f(n)≥f(2)=712，即f(n)的最小值是712

要使f(n)>112loga(a-1)+23對于一切n≥2的自然數(shù)n恒成立，則必須112loga(a-1)+23<712，即有l(wèi)oga(a-1)<-1.

∵a>1，∴a-1<1a.

解之得1

【例5】 若x∈(-∞，1]，1+3x+(a-a2)#8226;9x>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解:原不等式a-a2>-3x-19x，

則有a-a2>max{-3x-19x}.①

令y=-3x-19x=-(13)2x-(13)x=-u2-u(設(shè)u=(13)x).

由x∈(-∞，1]得u∈[3，+∞)，

y=-u2-u在u∈[3，+∞)上最大值為-12，

代入①得a-a2>-12，解之得-3

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|-3

綜上所述，求恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍的問題形式多樣，方法靈活多變，技巧性較強(qiáng).這就要求我們要以變應(yīng)變，在解題過程中，根據(jù)具體的題設(shè)條件，認(rèn)真觀察題目中不等式的結(jié)構(gòu)特征，從不同的角度，不同的方向，加以分析探討，從而選擇適當(dāng)?shù)姆椒焖俣鴾?zhǔn)確地解出.當(dāng)然除了以上的方法外，還有許多方法，值得一提的是，各種方法之間并不是彼此孤立的.因此，系統(tǒng)地掌握參數(shù)問題的解題方法，無疑會(huì)對學(xué)生今后學(xué)習(xí)及培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題等方面有很大的幫助.

(責(zé)任編輯 金 鈴)