所在直線傾斜角之間一個重要關系

在2008年9月湖北省部分重點高中大聯考數學試卷中有這樣一道填空題:AB為過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的一條弦，且|AF|=2|BF|，O為坐標原點，S△OAB=3|AB|，則p=__________.

在批改試卷時，重點關注了平時成績較好的同學解析，發現基本上都是較為傳統的解法:

設直線AB的方程為y=k(x-p2)(k≠0)，

由y=k(x-p2)，y2=2px有ky2-2py-kp2=0，

Δ=4p2+4k2p2>0.

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|=2|BF|有y1=-2y2. ①

又y1+y2=-2pk，y1y2=-p2， ②

結合①②可得y2=2pk，y22=p2，解得k2=8，k=±22.

則直線AB的方程為y=±22(x-p2).

再由點到直線的距離公式有:O到直線AB的距離為d=2p3，

又3|AB|=S△OAB=12|AB|d=2p6，解得p=36.

這種處理方式把一個填空題做得太繁雜，而本題重在求直線的斜率.下面結合拋物線的定義給出一種較為簡潔的求法:

拋物線的準線為l:x=-p2，

過A，B分別作于AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，

過B作BD⊥A1A(或其延長線)于D，

設|FB|=m，則|AF|=2m，設直線的傾斜角為θ，

則|cosθ|=|AD||AB|=m3m=13，則tanθ=±22.(后略)

如此，我們總結出一個結論:在拋物線y2=2px(p>0)中，AB(至上而下)為過焦點F的弦，且|AF||FB|=mn，設直線AB的傾斜角為θ，則cosθ=m-nm+n.同此法結合圓錐曲線的第二定義，該結論也可推廣到橢圓和雙曲線中:對橢圓的左焦點弦和雙曲線的右焦點弦AB(至上而下)，若|AF||FB|=mn，則cosθ=m-n(m+n)e(其中e為圓錐曲線的離心率)，其他形式同理可推出相似結論.靈活應用此結論解有關焦點分焦點弦所成的比的問題能起到事半功倍的效果.

(責任編輯 金 鈴)