數學探索“四步曲”

教育家布魯納曾經說過:“探索是數學的生命線?！睌祵W探索有助于學生了解數學概念和結論產生的過程;有助于學生體驗成功的喜悅，激發求知欲望和創新意識;有助于培養學生嚴謹的求學態度，掌握科學的學習方法。

探索能力是數學思維能力中最富有創造性的要素。學生探索能力的培養需要長期訓練，更需要講究方法。我在教學中經常采用“四步曲”的形式培養學生的探索意識和探索能力，取得了較好的效果。

第一步:概括結論。從有限的例子中推出結論，或者采用類比、聯想的方法進行猜測，最后用簡潔明了的話進行歸納。

第二步:驗證結論?？纯赐瞥龅慕Y論是否適用于全部，要求從不同的角度去驗證，目的是找到反例。

第三步:證明結論。想想能不能從理論上得到證明。一些性質、定律往往都是從個例推導出來的，屬于不完全推理，這就需要進行嚴格的證明，但應根據學生的學力靈活處理，不應強求學生進行合乎邏輯的證明。

第四步:鑒定結論。審視探索的價值，主要看是否有用、有創新。

教學中，我是將這四步化為四個相應的問題來進行的:①是什么?(怎么樣?)②一定是這樣嗎?③為什么是這樣?④有價值嗎?這四個問題好比四把“金鑰匙”，它們環環相扣、層層推進，引導學生探索數學的奧秘。我想，如果按照這種方法進行訓練，持之以恒，讓它成為數學探索的常態，學生的探索能力會有質的提高。

例如，“乘法運算定律”一課的教學，一般的教法是聯系生活引入主題圖，獲取信息，然后提出問題并解決。比如，“一共有多少人參加植樹活動”這個問題，有兩種算法，但它們的結果相同，從而得出“交換兩個因數的位置，積不變”的結論。乘法結合律的推導過程也類似。我考慮到前一課加法交換律和結合律的教學是按照教材的編排順序進行的，如果這節課再按照這種模式進行教學的話，可能會因為缺少變化，學生對所學內容缺乏興趣，從而影響教學效率。為了使學習內容有意義、富有挑戰性，教師是否可以改變教學內容的呈現方式，以滿足學生多樣化的學習需求?權衡利弊，我對教材設計做了變更，決定把這節課的教學重點定為經歷乘法運算定律的探索過程，初步掌握數學探索的方法，培養學生的探索能力。

在復習加法交換律和結合律之后，我直接拋出一個問題:“加法有交換律和結合律，那么乘法中會不會也存在類似的運算定律呢?”這個問題一下子激發了學生的興趣，他們有的說有，有的說沒有?！敖裉煳覀兙蛠硖剿饕幌隆Ｎ覀兪菑募臃ㄟ\算定律想到乘法運算定律的，這叫聯想。聯想是一種很有用的探索方法。乘法如果有運算定律，會是怎么樣的呢?”我讓學生用字母表示，因有了加法運算定律的模型，學生馬上寫出a×b=b×a和(a×b)×c=a×(b×c)這兩個式子。這就是數學探索的第一步“猜測會是什么”，然后轉入第二步“驗證一定是這樣嗎”?！斑@只是我們的猜測，這個結論是否正確需進行要驗證?！睂W生們紛紛計算，發現等式都成立?！拔覀儍H僅舉了幾個例子，興許湊巧呢?”引導學生將探究范圍拓寬，包括一些特別的數，于是例子里出現了0、1等特殊的數，計算后發現結果還是相等。“找不到一個反面的例子，說明我們的猜測是成立的?！蔽易寣W生分別給它們取一個名字，學生很自然就想到了乘法的交換律和結合律。“每一個結論在沒有證明之前，我們都有理由懷疑它的正確性，這正是科學嚴謹的態度。但是這樣的例子無窮無盡，我們不可能一直找下去，我們要想想能不能從正面來證明。”于是進入第三步“證明為什么是這樣”。限于水平，這一步只能由我來引導學生進行。我用的是圖示法，比如求方塊的總數。

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橫著看是3個4，豎著看是4個3，它們都表示方塊的總數，因而積相等。所有乘法都可以此類推。由于乘法分配律的證明難度較大，只能用生活中的例子予以說明，于是我利用教材中“求一共澆了幾桶水”的兩種解法進行說明。

接下來我要求學生看看探索的結果有沒有用，這就是第四步“想想有什么用”。學生們開動腦筋，有的說:“以前我們驗算乘法時交換兩個因數的位置再乘一次，實際上應用了乘法交換律。”有的說:“比如計算35×268，擺豎式的時候可以交換它們的位置，這樣計算簡便。”我肯定了學生們的發現。然后安排了一次競賽，計算36×4×25和36×(4×25)，男生和女生各做一題，看誰算得快，結果可想而知。學生們體會到乘法的運算定律很有用，能使一些計算簡便。課快結束時，一學生還發現:“三個數相乘，先把第一和第三個數相乘，再乘以第二個數，結果也不變。”他還舉了個例子，4×36×25=4×25×36，并說這樣算簡便。

這節課我把復習加法交換律和結合律作為教學的起點，為學生運用知識遷移作好鋪墊，然后圍繞中心問題，引導學生經歷數學探索的過程，通過聯想猜測，激發學生學習數學的興趣。通過驗證猜想，引導學生全身心地投入到學習活動中，使學生體驗到成功的喜悅，從而積極愉快地運用學到的數學知識解決問題。這樣既幫助學生理解和掌握了知識，又培養了學生的思維能力，使學生受到科學方法、科學態度的啟蒙教育，達到了真正的發展。

數學探索的過程是學生動腦、動手，運用一定的策略去驗證自己的猜測和設想，通過教師引導、生生互助，最后歸納出結論的過程。這個過程有時可能很費時間，會影響教學進度，但我覺得還是值得的，因為這是學生受用終生的東西。正如弗賴登塔爾所言:“學習數學唯一正確的方法就是引導學生再發現。”

為了取得好的教學效果，教師需要始終把握以下三點:

1.創設輕松愉悅的學習環境，激發學生的學習興趣

要獲得持久不衰的學習數學的動力，就要培養學生的數學興趣。教師要創設輕松愉悅的學習環境，在傾聽者、合作者和引導者之間做好角色轉換，重視數學的應用教學，提高學生對數學的認識，使學生充分感受到數學的作用和魅力，從而熱愛數學。

2.鼓勵大膽質疑，提出獨立見解，培養批判精神和創新精神

教師要培養學生敢于懷疑的精神，有向權威挑戰的勇氣，這對他們今后的學習探索尤其重要。對學生的巧思妙解，教師要及時表揚推廣，以激起他們不斷鉆研的熱情。同時，要注意培養學生發現問題和提出問題的能力，重視培養發散性思維，廣開思路。

3.循序漸進，不同學段有不同的側重點，但在具體的探索方法上要給予指導

《數學課程標準》明確指出:“第一學段初步學會選擇有用的信息進行簡單的歸納和類比;第二學段進行歸納、類比與猜測，發展初步的合情推理能力;第三學段體會證明的必要性，發展初步的演繹推理能力。”教師要好好領會，在課堂教學中適時滲透。

總的來說，小學階段應以發展學生初步的合情推理能力為主要目標，通過觀察、實驗、歸納、類比等活動獲得數學猜想，聯系生活實際尋求證據或舉出反例。

(責編杜華)