“數形結合”天地寬

日本數學史家米山國藏在他的著作《數學的精神、思想和方法》中說道:“不管他們(指學生)從事什么業務工作，即使把所教給的知識(概念、定理、法則和公式等)全忘了，唯有銘刻在他們心中的數學精神、思想和方法都隨時隨地地發生作用，使他們受益終生。”隨著社會的發展，要想實現終身學習和人的可持續發展，重要的是在教育中發展學生的能力，使之掌握獲得知識和進一步學習的方法，逐漸掌握蘊涵在知識內的數學思想和方法。只有這樣，才能使學生真正感受到數學的價值和力量。小學是學生學習數學知識的啟蒙時期，這一階段注意給學生滲透基本的數學思想便顯得尤為重要。

數學是研究空間形式和數量關系的科學，因此數形結合思想是重要的數學思想方法之一。著名數學家華羅庚指出:“數缺少形時少直觀，形少數時難入微。”這句話說明了“數”和“形”是緊密聯系的。我們在研究“數”的時候，往往要借助于“形”，在探討“形”的性質時，又往往離不開“數”。數形結合具體地說就是將抽象的數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，通過“數”與“形”之間的對應和轉換來解決數學問題。在小學數學教學中，主要有三種類型:以“形”思“數”、以“數”想“形”和“數“形”互譯。

下面就小學數學教學中的數形結合思想的滲透與應用，談談我的認識。

1.以“形”思“數”，幫助學生建立數感

小學生思維以形象思維為主，逐步向抽象思維過渡。小學數學中的數量關系是比較抽象的，學生難以理解。由于“數”和“形”有一種對應關系，而“形”具有形象、直觀的優點，能表達較多具體的思維，能幫助學生理解抽象的數量關系，因此我們可以把“數”的對應——“形”找出來，利用圖形來解決問題。我們能夠從所給問題的情境中辨認出符合問題目標的某個熟悉的“模型”，這種模型是指數與形的一種特定關系或結構。這種把數量問題轉化為圖形問題，并通過對圖形的分析、推理最終解決數量問題的方法，就是以“形”思“數”圖形分析法。

數是抽象的數學知識，形是具體實物、圖形、模型、學具，數和形是緊密聯系的。學生只有先從形的方面進行形象思維，通過觀察、操作，進行比較、分析，在感性材料基礎上進行抽象，才能獲得數的知識。所以，在低年級的數學課堂教學中，數形結合是常用的手段之一，因為它能有效地為毫無數字概念的孩子建立數感。一般認為，20以內甚至100以內的數學生大多會讀會寫，因此往往忽視教學過程中的動手操作。事實上，操作恰恰是建立數感的有效途徑。

例如，在教學“20的認識”時，教師既要演示，又要讓學生親自動手用擺小棒的方法從11數到19，然后用稍稍緩慢的動作清楚地演示出19根小棒添上1根是1捆加十個1個，再將10個1根捆成1捆，這樣就是2捆，即2個10根，也就是20根。這樣的過程使學生清楚地感受到20是在19的基礎上添上1生成的，這對后面30、40、50等整十數的認識有很強的提示作用。而100的認識更要讓學生通過數小棒經歷99添上1就是10個十，10個十是1個百即100的生成過程，從而體會兩位數向三位數的變化，明白數位的順序及各數位的價值。

在小學階段，以“形”思“數”的數形結合思想是最普遍的，幾乎每冊教材中都有。低段教材，對數的意義的理解和數的乘、除、加、減的四則計算等，教材上都配有相應的實物圖形;高段教材，利用線段圖表示行程問題、分數應用題的數量關系，其編寫意圖就是滲透數形結合思想，利用形象、直觀的“形”幫助學生理解抽象的“數”。

2.以“數”想“形”，培養學生空間觀念

雖然“形”有形象、直觀的優點，但在定量方面還必須借助“數”的計算。特別是對于較復雜的“形”，不但要正確地把圖形數字化，而且還要留心觀察圖形的特點，充分利用圖形的意義或性質，把“形”正確表示成“數”的形式，進行分析、判斷、計算，從而得出所需的“形”。空間觀念是物體的形狀、大小、長短和互相位置關系的表象。要培養和發展學生的空間觀念，教學時既要聯系實際，讓學生動手操作，看到具體的形，又要通過計算去分析、判斷、比較，抽象概括出規律與公式，用以“數”想“形”的數形結合思想培養學生的空間觀念。例如，五年級下冊“包裝的學問”一課，將兩盒長20cm、寬15cm、高5cm的糖果包成一包，怎樣包裝才能節約包裝紙(接口處不計)?教學時，我讓學生用相應的紙盒作為學具，動手擺一擺，再完成下面的表格。

通過觀察上面的表格，得出節約包裝紙的規律:重疊的面積越大，包裝紙越節省，即長、寬、高的和越小，包裝紙越節省。

這個教學過程就是利用以“數”想“形”的數形結合思想，讓學生經歷了三個空間觀念建立的過程:動手操作——實物觀察——抽象概括。這樣學生從操作到觀察，從觀察到抽象，從抽象到想象，眼看、手動、腦想，整體感知具體事物模型，熟識和認知觀察對象，使觀察物的整體模型儲存于腦海中形成印象。在境物交融中，學生看過、摸過、想過，從而使空間觀念在活動體驗中得以培養和形成。

像這樣通過計算去分析、判斷、比較，并抽象概括出規律或公式，然后應用規律、公式去判斷、計算物體的形狀、大小，就是以“數”想“形”的數形結合思想。在小學階段，判斷三角形的三邊關系、三角形的內角和，計算平面圖形的周長、面積，求立體圖形的表面積、體積，也就是滲透用定量的“數”去描述具體的“形”的數形思想。

3.“數“形”互譯，提升學生思維能力

“數”“形“互譯是指在某些數學問題中，不僅僅是簡單地以“形”思“數”或以“數”想“形”，而是需要“數”“形”互相變換。即不但想到由“形”的直觀變為“數”的嚴密，還要由“數”的嚴密聯系到“形”的直觀。“形”“數”互譯的一般方法是看“形”思“數”、見“數”想“形”，實質就是以“數”化“形”、以“形”譯“數”的結合。

在解決問題過程中，經常要用到“數”與“形”互譯的數形結合思想，即把問題中的數量關系轉譯成圖形，把抽象的數量關系形象化，再根據對圖形的觀察、分析、聯想，逐步譯成算式，以達到問題的解決。例如，五年級上冊“雞兔同籠”一課:雞兔同籠，有20個頭、54條腿，雞、兔各幾只?本課的解決問題教學策略書上采用列表嘗試法。如果采用“數”“形”互譯的畫圖法解，二年級的學生都能解答，并且可以從畫圖法引出數量關系，列式解答。引導學生畫圖如下:

(1)畫20個頭(2)每個頭添上2只腿 (3)再添上剩余的14條腿

從圖上可知兔有7只，雞有13只。然后引導學生理解數量關系:首先假設20只全是雞，每只雞身上長2條腿，共20×2=40(條)腿，還剩余54-40=14(條)腿，雞身上再長2條腿變成兔子，直到14條腿長完為止。這樣就得到兔子14÷(4-2)=7(只)，雞20-7=13(只)，列綜合算式為(54-20×2)÷(4-2)。

從這個教學過程中不難看出:“數”“形”互譯的過程，既是問題解決的過程，又是學生的形象思維與抽象思維協同運用、互相促進、共同發展的過程。由于抽象思維有形象思維作支持，從而使解法變得十分簡明扼要且巧妙。

在小學階段，教學“正反比例的意義”就是把抽象的數量關系與形象的直觀坐標圖聯系起來，在“數”“形”互譯中去理解。其次，教學“統計與概率”較復雜的組合圖形面積、立體圖形的形體變換和立體圖形的表面積、體積的變化等問題時，都需要用到“數”“形”互譯的數形結合思想。再次，小學數學教學中常用的解決問題的策略有畫圖法、列表法、猜想與嘗試法、從特例開始尋找規律法等，教學這些策略都需要用到以“數”化“形”、以“形”譯“數”的數形結合思想。

總之，在小學數學教學中，數形結合能不失時機地為學生提供恰當的形象材料，可以將抽象的數量關系具體化，把無形的解題思路形象化，不僅有利于學生順利的、高效的學好數學知識，更有利于學生學習興趣的培養、數學思維的發展、知識應用能力的增強，使教學收到事半功倍之效。在“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”“實踐與綜合應用”四個小學學習領域中，都能應用數形結合思想進行教學，數形結合思想是小學數學教學中常用的、有效的教學策略。

巧妙地滲透、應用數形結合思想，既能為小學數學教學開辟一片廣闊的天地，又能為學生的終身學習和可持續發展奠定扎實的基礎。

(責編杜華)