如何培養學生的猜想和直覺能力

摘要: 培養學生的創新能力應作為教育的一個基本目標。如果教師不具有任何創新意識，而只是束縛于各種傳統的觀念或教學模式中，那么，創新目標自然就不可能順利地得以實現。我們應當注意培養學生的猜想能力、想象能力和直覺能力。

關鍵詞: 創新猜想直覺

現代教育應當把培養學生的創新能力作為教育的一個基本目標。如果教師不具有任何創新意識，而只是束縛于各種傳統的觀念或教學模式中，那么，創新目標自然就不可能順利地得以實現。在充分肯定創新精神的同時，我們應注意作出適度的平衡，特別是應當防止因“標新立異”而由一個極端走向另一個極端。以下我就從這個角度對如何培養學生的猜想和直覺能力的問題提出一些看法。

首先，我們應當注意培養學生的猜想能力、想象能力和直覺能力。學生(至少是一部分學生)對于某些問題能作出很好的猜測，或者說具有很好的直覺能力。“在數學中確實有許多‘只可意會、不可言傳’的東西，要說明為什么有時是很困難的”。但是，我們能否因此而提出這樣的結論:“應少問學生幾個‘為什么’?”(有些教師曾提出此問題。)

我想對于直覺的“易謬性”在此不用作過多的強調;但是，如果不是堅持提出“為什么”，學生又怎么可能很好地形成“證明”的意識呢?我們又怎么能夠深切地認識到“證明”的必要性及其積極意義呢?

事實上，美國自上世紀八十年代以來在“問題解決”這一方向上所進行的改革實踐已為上述的結論提供了有力的論據。具體地說，在所說的改革實踐中人們經?？梢钥吹竭@樣的現象，即學生(甚至包括教師)只是滿足于用某種方法(包括觀察、實驗和猜想)求得了問題的解答，卻不再對此進行進一步的思考和研究，甚至未能對所獲得結果的正確性做出必要的檢驗和證明。這種現象當然引起了人們特別是數學家的極大不安。例如，美國加州大學的伍鴻熙教授就曾強調指出，對于直覺與非形式的強調是無可非議的，但是，我們并不能以此去取代數學證明，而只能作為后者的必要補充;而“如果在解決問題的過程中總是滿足于不加證明的猜測，學生就很快會忘記在猜測與證明之間的區分”，而后者甚至可以說比根本不知道如何去解決問題更糟，因為，“證明正是數學的本質所在”。[1]

當然，應當明確的是，個別教師強調“數學教學應重視數學猜想和數學直覺思維。特別是在猜想階段，在不知道結論是什么的階段，盡量少問學生‘為什么’”。但是，事實上它涉及了如下的問題，即應如何去培養學生的猜想和直覺能力。特別是，這兩種能力究竟應被看成是一種天賦，還是有一個后天發展的過程?另外，多問“為什么”是否就會抑制學生猜想和直覺能力的發展?

就前一個問題而言，我想大多數數學工作者，包括數學教師都會由自己的親身體驗對此作出明確的答復，即認為應當肯定猜想和直覺能力的發展性和可培養性。例如，對于一個專業的數學工作者來說，他所具有的數學直覺顯然已不再是一種簡單意義上的原始直覺，而是一種精致化了的直覺，也即是通過多年的學習和研究才逐漸養成的;另外，也正是基于這樣的認識，我們才能談到“學會猜想”，正如波利亞所提倡的那樣，如何幫助學生去“學會合理的猜想”。

顯然，如果上述的立場成立，那么，一個必然的結論就在于，我們不僅應當注意“保護”學生已有的猜想能力和直覺能力，而且應當注意幫助學生學會合理的猜想方法，并使他們的直覺不斷得到發展和趨向精致。然而，必要的反思正是培養和發展猜想與直覺能力的重要環節。事實上，按照不少著名學者(如皮亞杰)的分析，這正是數學思維的一個重要特點，其主要建立在所謂的“自反抽象”之上(對此應與其他自然科學中的“經驗抽象”明確地加以區分)，從而也就是與反思的活動直接相聯系的。特殊的，由于經常自問“為什么”正是所說的“反思活動”的一個基本形式。因此，在這樣的意義上，我以為，為了很好地培養學生的猜想和直覺能力，我們不僅應當經常地問學生“為什么”，而且應當努力促進學生由“被動狀態”向相應的“自覺狀態”的轉變，也即由被動地回答教師關于“為什么”的問題而發展成為經常地向自己提出“為什么”。

值得提及的是，上述的轉變不僅對于培養和發展學生的猜想和直覺能力有著十分重要的意義，而且對于發展學生的認知能力也是十分重要的，而后者事實上也應被看成數學教育乃至一般教育的一個重要目標。[2]

最后，盡管有些“為什么”回答起來“有時是很困難的”，但是，一個好的猜想(或者說一個“合理”的猜想)總是有“道理”可言的。當然，后者并不能簡單地被等同于嚴格的證明，對此我們可以從啟發法的角度說出一定的道理。[3]然而任何有經驗的教師又都清楚地知道，學生往往能由自己的學習經驗總結出如下的“啟發性原則”:按教師所暗示的思路去尋找解答往往最為有效和最為可靠。

當然，為了培養學生的猜想和直覺能力，我們不能在“啟發”的道路上走得過遠。一般地說，我們在教學中涉及了數學方法論的研究對象或主要特征。這就是指，數學方法論所關注的主要是數學發現、創造過程的“理性重建”，也即是希望能通過方法論的分析使數學中的發明、創造活動成為“可以理解的”、“可以學到手”和“可以加以推廣應用的”。我認為，這正是我們改進數學教學的一個重要手段，即是應當以思想方法的分析去帶動具體知識內容的教學。

由于數學啟發法的核心即是一些定型的問題和建議，因此，在我看來，這事實上也就更為清楚地表明了這樣一點:為了培養和發展學生的猜想和直覺能力，我們不僅不應少問。而且應多問學生幾個“為什么”。當然，又如波利亞所指出的，這里的關鍵即在于“運用得當”;另外，更加重要的是，就如上面所提及的，我們還應十分注意幫助學生養成自問和反思的習慣。

參考文獻:

[1]關于“大眾數學”的反思.數學教育的現代發展.江蘇教育出版社，1999.

[2]對于波利亞的“超越”.數學教育的現代發展.上海教育出版社，1998.

[3]問題解決與數學教育.江蘇教育出版社，1994.