對數函數與指數函數的圖像的交點個數的再探討

摘要: 本文作者結合教學實踐，重點研究了對數函數與指數函數的圖像的交點個數的相關問題，希望能對改進相關教學工作有所幫助。

關鍵詞: 對數函數指數函數圖像交點個數

教材上有這樣一個思考題:一般的，當a>0，a≠1時，函數y=a與y=logx的圖像有什么關系?

根據教材上給出的圖形，容易知道它們關于直線y=x對稱。那么，它們的交點有幾個呢?很多資料上都沒能正確回答這個問題。例如，在南京師范大學主辦的《數學之友》2005版第18頁有這樣一道題。

已知0

A.1個B.2個C.3個D.1個或2個或3個

該書給出的答案是B，如圖一。這樣解答正確嗎?

圖一

要解決這個問題，我們必須將函數y=a與y=logx(a>0，a≠1)的交點個數搞清楚。

1.當a>1時，函數y=a與y=logx的圖像交點是0個或1個或2個。

教材上給出了y=2和y=logx的圖像，如圖二，它們沒有交點，且都與直線y=x沒有公共點。當底數a逐漸減小(a>1)時，函數y=a與y=logx圖像與直線y=x逐漸“接近”，然后相切，相交(用幾何畫板可以清楚地看出這一點)。

下面，我們求a>1時，函數y=a與y=logx的圖像僅有一個交點時a的值。

如圖三，此時，設函數y=a的圖像與直線y=x相切于點P(x，y)，

∵(a)′=a#8226;lna

∴y=xy=aa#8226;lna=1，

∴a=x==loge，

∴x=a=a=e，又由a=e得a=e。

由于函數y=a與y=logx(a>0，a≠1)的圖像關于直線y=x對稱，故當a=e時，函數y=a與y=logx的圖像與直線y=x相切于同一點P(e，e)。

根據以上分析，我們知道:

當a>e時，函數y=a與y=logx的圖像有0個交點。

當a=e時，函數y=a與y=logx的圖像有1個交點。

當1

2.當0

下面，我們求函數y=a，y=logx(0

如圖五，設函數y=a，y=logx(0

∵(a)′=a#8226;lna，(logx)′=，

∴a#8226;lna=，

∵x=a，

∴xlna=，

∴x#8226;lna=-1(x#8226;lna=1舍去)。

又由logx=x得=x，

∴lnx=x#8226;lna=-1，

∴x=e，

∴lna=-=-e，

∴a=e。

根據以上分析，我們知道:

當e≤a<1時，函數y=a與y=logx的圖像有1個交點。

當0

回到本文開始提出的問題，當0

參考文獻:

[1]單土尊.普通高中課程標準實驗教科書#8226;數學1(必修).江蘇教育出版社，2007.6.