感悟二元一次方程組應(yīng)用題中的數(shù)學(xué)思想

對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟與運(yùn)用滲透在整個(gè)初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，是克服題海戰(zhàn)術(shù)，取得優(yōu)異成績(jī)的有效策略。在列二元一次方程組解應(yīng)用題中，若能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法來(lái)求解，將能起到事半功倍的效果。本文結(jié)合例題加以分析，希望對(duì)教學(xué)有所幫助。

一、整體思想

當(dāng)一個(gè)問(wèn)題中未知數(shù)較多，一個(gè)一個(gè)地求解比較復(fù)雜，或有時(shí)不能求解時(shí)，可將其中滿(mǎn)足某一共同特性的固定代數(shù)式看作一個(gè)整體，這樣有時(shí)可使運(yùn)算簡(jiǎn)捷。

例1:甲騎自行車(chē)從A到B地，乙騎自行車(chē)從B地到A地，兩人均勻速前進(jìn)，已知兩人在上午8時(shí)同時(shí)出發(fā)，到上午10時(shí)，兩人還相距36千米，到中午12時(shí)，兩人又相距36千米，求A、B兩地間的距離。

分析:題目中甲、乙的速度，A、B兩地的距離均不知道，可分別設(shè)x、y、z。相等關(guān)系有兩個(gè):上午10時(shí)相距36千米(未相遇)，中午12時(shí)，又相距36千米(已相遇，后又相離)。

解:設(shè)甲騎自行車(chē)的速度為x千米/時(shí)，乙騎自行車(chē)的速度為y千米/時(shí)，A、B兩地相距z千米，根據(jù)題意，得:

2(x+y)+36=z①4(x+y)-36=②

將(x+y)看作一個(gè)整體，②-①，得2(x+y)-72=0。

所以x+y=36。

將x+y=36代入①，得z=108。

答:A、B兩地相距108千米。

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是把圖形與蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系巧妙的結(jié)合起來(lái)，使問(wèn)題更直觀，更容易解決。

例2:中央電視臺(tái)2套“開(kāi)心辭典”欄目中，有一期的題目如圖1所示，2個(gè)天平都平衡，則與2個(gè)球體的質(zhì)量相當(dāng)?shù)恼襟w個(gè)數(shù)為

分析:本題有三個(gè)未知量—球體、圓柱體、正方體的質(zhì)量，觀察圖形可得到兩個(gè)等量關(guān)系:2個(gè)球體的質(zhì)量=5個(gè)圓柱體的質(zhì)量;2個(gè)正方體的質(zhì)量等于2個(gè)圓柱體的質(zhì)量。

解:設(shè)一個(gè)球體、圓柱體與正方體的質(zhì)量分別為x、y、z，根據(jù)題意，得:

2x=5y①2z=②

①×2-②×5，得2x=5z。

所以與2個(gè)球體相等質(zhì)量的正方體的個(gè)數(shù)為5，故選A。

三、方程思想

將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程(組)的形式，通過(guò)解方程(組)使問(wèn)題得以解決的思維方式就是方程思想，用方程的思想解決往往比用其它方法簡(jiǎn)捷、方便得多。

例3:《一千零一夜》中有這樣的一段文字:有一群鴿子，其中部分在樹(shù)上歡歌，另一部分在地上覓食，樹(shù)上的一只鴿子對(duì)地上覓食的鴿子說(shuō):“若從你們中飛上來(lái)一只，則樹(shù)下的鴿子就是整個(gè)鴿群的;若從樹(shù)上飛下去一只，則樹(shù)上、樹(shù)下的鴿子就一樣多了?！蹦阒罉?shù)上、樹(shù)下各有多少只鴿子嗎?

分析:此題有兩個(gè)未知量——樹(shù)上的鴿子數(shù)與樹(shù)下的鴿子數(shù)。

問(wèn)題中有兩上等量關(guān)系:

(1)樹(shù)下的鴿子數(shù)-1=×(樹(shù)上的鴿子數(shù)+樹(shù)下的鴿子數(shù));

(2)樹(shù)上的鴿子數(shù)-1=樹(shù)下的鴿子數(shù)+1。

解:設(shè)樹(shù)上的鴿子為x只，樹(shù)下的鴿子為y只，根據(jù)題意得:

y-1(x+y)x-1=y+1，解得x=7x=5。

答:樹(shù)上有7只鴿子，樹(shù)下有5只鴿子。

四、分類(lèi)思想

分類(lèi)討論思想就是把二元一次方程組在應(yīng)用題中包含各種可能情況，按某一標(biāo)準(zhǔn)分成若干類(lèi)，然后對(duì)每一類(lèi)分別進(jìn)行解決，從而達(dá)到解決整個(gè)問(wèn)題的目的。

例4:“七星”體育彩票經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃用45000元從省體彩中心購(gòu)進(jìn)彩票20扎，每扎1000張。已知體彩中心有A，B，C三種不同價(jià)格的彩票，進(jìn)價(jià)分別為A種彩票每張1.5元，B種彩票每張2元，C種彩票每2.5元。若經(jīng)銷(xiāo)商同時(shí)購(gòu)進(jìn)兩種不同型號(hào)的彩票20扎，用去45000元，請(qǐng)你設(shè)計(jì)購(gòu)票方案。

分析:本題從A、B、C三種彩票中選出兩種彩票購(gòu)買(mǎi)，故有3種情況可能發(fā)生，即購(gòu)進(jìn)A與B彩票、A與C彩票或B與C彩票。

解:設(shè)購(gòu)進(jìn)A種彩票x張，B種彩票y張，則:

x+y=1000×201.5x+2y=45000，解得因x=-10000y=30000，因x<0，所以方程組無(wú)解。

設(shè)購(gòu)進(jìn)A種彩票x張，C種彩票z張，則:

x+z=1000×201.5x+2z=45000，解得因x=5000z=15000。

設(shè)購(gòu)進(jìn)B種彩票y張，C種彩票z張，則:

y+z=1000×202y+2.5z=45000，解得因y=10000z=10000。

綜上，當(dāng)經(jīng)銷(xiāo)商同時(shí)購(gòu)進(jìn)兩種不同型號(hào)的彩票時(shí)，共有兩種方案可行，即A種彩票5扎，C種彩票15扎，或B種彩票與C種彩票各10扎。