分形理論在經濟數學教學中的應用

摘 要:結合經濟數學教學，探討分形理論的發展，通過分析在教學中引入涉及分形背景的數學模型應用實例，體現數學建模的思想，剖析了Zipf法則與城市體系分維的統計等價性的問題。

關鍵詞:分形理論 分形維數 Zipf法則 應用

中圖分類號:O29;F224 文獻標識碼:A

文章編號:1004-4914(2010)05-137-02

分形理論是一門橫斷學科，從數學、振動力學到流體力學、天文學和計算機圖形學，從分子生物學到生理學、生物形態學，從材料科學到地球科學、地理科學，從經濟學到語言學、社會學等領域已廣泛應用。分形理論對方法論和自然觀產生重要影響，用分形的觀點看世界，這個世界實際上是以分形的方式存在和演化著的世界。

一、關于分形內涵的研究

分形幾何的概念是曼德爾布羅特(1975)年首先提出來的。但最早的研究可追朔到維爾斯特拉斯(1872)構造的處處連續、處處不可微的函數，集合論創始人康托構造了有許多奇異性質的三分康托集，皮亞諾(1890)構造了填充平面的曲線，柯赫(1904)設計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線，謝爾賓斯基(1915)設計了像地毯和海綿一樣的幾何圖形，這些都是屬于規則的分形圖形。它們是按一定規則構造出來的、具有嚴格的自相似的分形圖形，它們都屬于自相似分形集。豪斯道夫(1910)開始了對奇異集合性質與量的研究，提出分數維概念。布利干(1928)將閔可夫斯基容度應用于非整數維，龐特里亞金(1932)等引入盒維數，貝塞考維奇(1934)更深刻地揭示了豪斯道夫測度的性質和奇異集的分數維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領域中作出了主要貢獻，從而產生了豪斯道夫-貝塞考維奇維數概念。

現代分形理論的奠基人曼德爾布羅特(1977)出版了關于分形幾何的第一部著作《分形:形狀、機遇和維數》一書，它集中了1975年以前曼德爾布羅特關于分形幾何的主要思想，總結了依據自相似性計算實驗維數的方法。曼德爾布羅特(1982)的《大自然的分形幾何學》出版，將分形定義為局部以某種方式與整體相似的集，重新討論盒維數，它比豪斯道夫維數容易計算，但是稠密可列集合維數與集合所在空間相等。在這兩本書中他將分形的理論及應用推動到一個全新的階段。

(一)分形定義、分類與分形維數

通常將具有某種方式的自相似性的圖像或集合稱為分形。所謂自相似性，就是指局部與整體相似。這類某種形式的自相似性，不只限于嚴格的幾何自相似性，也可能是通過大量的統計而呈現出來的不很嚴格的自相似性。由于局部中又有其局部，而它們都是自相似的，這樣整體與局部都具有無窮盡的自相似的內部結構，且在每一小局部中所包含的細節并不比整體所包含的少，所以分形是有無窮自相似嵌套性的圖形或集合。

分形至今無統一定義，因為每種定義都不能涵蓋所有的分形。曼德爾布羅特(1982)對其定義為“分形是一個豪斯道夫-貝塞考維奇維數嚴格大于其拓撲維數的集合。”此定義包括一大類具有分數維的分形集，但忽略了某些維數為整數的分形集。曼德爾布羅特(1986)給出了分形的另一個定義:分形具有在某種方式上部分與總體相似的形狀特征。這個定義強調了分形集具有某種自相似性特征，但仍有很多分形集沒有包括其中。

分形一般分成兩大類，確定性分形和隨機性分形。如果算法的多次重復仍然產生同一個分形圖，這種分形稱之為確定性分形。確定性分形具有可重復性，即使在生成過程中可能引入了一些隨機性，但最終的圖形還是確定的。隨機分形指的是盡管產生分形的規則是確定的，但受隨機因素的影響，雖然可以使每次生成過程產生的分形具有一樣的復雜度，但是形態卻會有所不同。隨機分形雖然也有一套規則，但是在生成過程中對隨機性的引入，將使得最終的圖形是不可預知的。即不同時間的兩次操作產生的圖形，可以具有相同的分維數，但形狀可能不同，隨機分形不具有可重復性。

曼德爾布羅特引進了分數維，給出了一個分形集充滿空間的復雜程度的描述。每個分形集都對應一個以某種方式定義的分形維數，這個維數值一般是分數的，但也有整數維的分形集。分形維數的定義有多種方法，常用的分形維數概念有三種:豪斯道夫維數、自相似維數以及盒維數。在分形維數中，豪斯道夫維數是最古老的最重要的一種。豪斯道夫維數具有對任何集都有定義的優點，由于它是建立在相對比較容易處理的集合測度概念的基礎上，數學應用比較方便。它的主要缺點是在很多情形下用計算的方法很難計算或估計它的值，因此，還有許多其他維數定義也常常被應用。

分形維數是分形理論中核心的概念與內容，它是由曼德爾布羅特為表征曲線的復雜性和處處不可微性而提出的，是刻畫分形體復雜結構的主要工具，引入分形維數正是分形理論的新穎之處。應用分形理論研究自然現象最重要的問題是如何解釋分形維數的意義，分形維數的意義應包括分形維數本身的幾何意義和研究對象參量及其尺度變化的意義兩方面，兩者結合才是特定分形維數的含義。

(二)分形的特征

肯尼思·法爾科內(1990)認為分形集F具有以下特征:(1)F具有精細的結構，即在任意小的比例尺度內包含整體。(2)F具有不規則性，使得它的整體和局部都不能用傳統的幾何語言來描述。(3)F一般具有某種自相似性，可能是近似的或統計意義下的。(4)通常F的分形維數(以某種方式定義)大于它的拓撲維數。(5)在大多數令人感興趣的情形下，F可以通過遞歸、迭代等簡單的方式產生。(6)其大小不能用通常的測度(例如面積、長度、體積等)來度量。

(三)分形的基本性質

分形具有兩個基本性質:自相似性和標度不變性。自相似性是指某種結構或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的，或者某種系統或結構的局域性質或局域結構與整體相似，另外在整體與整體之間或部分與部分之間，也會存在自相似性; 所謂標度不變性，是指在分形上任選一局域，對它進行放大，得到的圖形會顯示出原圖形的形態特征。

二、分形理論在經濟數學教學中的應用

當前分形理論的研究主要分三種類型:分形的基礎理論研究、分形圖形的生成方法研究及分形理論在實際應用中的研究。分形理論在化學、物理學、數學、材料科學、地震學、生命科學、藝術、計算機圖形學等多個學科多個方面有廣泛的應用，在廣告、電腦游戲、計算機動畫、書籍和刊物的封裝、藝術作品中，也已經成功地應用了分形技術。在經濟數學教學中適當補充一些分形知識，對提高學生思維品質有很大的益處。

(一)Zipf法則及維數

在教學中引入涉及分形背景的數學模型，結合實例，可以體現數學建模的思想，幫助學生認識到分形的實際應用價值，從而激發學生學習興趣。國內外研究成果表明，城鎮體系的人口及經濟規模的等級分布符合一些數學模型，如Pareto分布模型及G.K.Zipf的等級規模分布模型等，這些數學模型為城鎮體系的分析與規劃提供了科學依據。Zipf(1949)把自己發現的規律應用于城市人口、企業收入等現象，研究這些數量跟等級的關系。在其出版的《人類行為與最小努力原則-人類生態學引論》中，他進一步擴展了視野，討論了人類社會的眾多社會、文化現象及自然現象。根據前人的研究成果提出了一個通用的城市規模分布法則(Zipf's law):Pr=P1r-q(1)式中r為城市位序，Pr為位序為r的城市的人口數，系數P1為首位城市人口，為Zipf指數。類比于豪斯道夫維數公式可知，式(1)服從冪定律，為一分形模型，參數q具有分維性質，它是分維D的倒數，即q=1/D。對(1)式作對數變換有:lnPr=lnp1-qlnr(2)由于冪函數關系等價于對數線性關系，因此，只要雙對數坐標圖上的位序-規模數據點的直線關系成立或者部分成立，即可判定分形的存在，直線上點的范圍即為無特征尺度的區域。以lnr為橫坐標，lnpr為縱坐標作出散點圖，進行線性回歸擬合可求出其城鎮體系規模結構的分維數。已有研究表明中國668個建制城市的前550多個城市服從Zipf定律，即將全部10萬以上人口的城市囊括在內。城市形態的分維在微觀或局域上雖然參差不齊，但在宏觀或整體上卻有一定的規律，大量標本的平均值接近于1.71。

(二)分形圖形的數學分析

可以讓學生利用各種信息網絡環境資源查看分形圖，挖掘分形圖蘊涵數學思想，使學生從一個新的視角認識傳統圖形。在教學中關注學生自主學習，啟發學生發現分形圖形所具有對稱、節奏和韻律、平衡、自相似性、嵌套以及分叉、纏繞、和豐富的變換等特點，體會分形圖形的美學特征。分形圖形在空間結構上體現傳統藝術形態中的對稱形式，分形圖形具有一種局部和更大的局部、或者是局部和整體的對稱，具有無限精細的結構層次，在自相似的遞歸結構中，無論是在哪一個層次的局部都保持整體的基本形態，獲得整個圖形的和諧、秩序與均衡。分形樹、謝爾賓斯基三角形和經典的曼德爾布羅特集等就是具有自相似特性的典型分形圖形。這種自相似性也可以從復映射的經典M集的逐步放大得到，利用MATLAB，改變常數c的取值，可以得到各式各樣的Julia集。以上表明，本質上藝術與數學最為接近，區別只是使用不同的語言來表達。

三、結語

分形是結構的深化，正是分形理論的提出和應用使人們以比從前更深刻更準確的方式方法去認知世界，為人們認識世界提供了新視角和新思路。教學中適當引進有關分形的知識案例，可以多維度地培養大學生數學理念，從而達到全面提高學生思維能力水平，培養出更加適應新時期發展的創新型人才。

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(作者單位:廣東女子職業技術學院 廣東廣州 511450)

(責編:賈偉)