繼承與創新:“應用題”與“解決問題”的變與不變

摘 要:“應用題”與“解決問題”既不是完全等同，又不是完全的創新，兩者之間同中有異，異中有同。只要找到“應用題”與“解決問題”的變與不變，找到繼承與創新的平衡點，就能實現從“應用題”到“解決問題”的有效漸變，真正提高學生的數學問題解決能力。

關鍵詞:數學教材;解應用題;解決問題;繼承創新

中圖分類號:G623.5 文獻標識碼:A 文章編號:1009-010X(2010)05-0045-04

自2001年啟動數學新課程實驗后，在義務教育教材中一直占有突出地位的“應用題”消失了，取而代之的是新課標教材中的解決問題，由此引發了專家、學者、一線教師的廣泛爭議。爭論的焦點主要集中在以下兩個問題:其一，由“應用題”到“解決問題”，是名稱改變，還是本質改變?是大同小異，還是面目全非?其二，如何科學地界定數學中的問題解決?它是一種理念、一種學與教方式，還是一種數學問題的闡述形式?從各種各樣的討論看，“解決問題”顯得“扮相十足”，“應用題”則“灰頭土臉”，甚至在教學時教師忌諱提應用題，深怕自己太“落后”，因此，兩者的關系可以用“撲朔迷離”來形容。至于“解決問題”是什么，僅從大量相關文章中看，感覺這是一個被“神話”了的概念，不好界定，因為對其任何一種解讀都會招惹來對立的或其他的說法，太不具有確定性了。這個包袱皮太大，可包容的東西太多，內置空間說不清到底有多廣，可以因永遠說不清而成為“永恒的論題”。

課程改革對人們的心理和價值觀念產生廣泛而深刻的影響是必然的，但改革不是廢棄傳統，也不是推倒一面重樹一面，而是基于繼承的創新，基于發展的完善。“應用題”與“解決問題”既不是完全等同，又不是完全的創新，兩者之間同中有異、異中有同。有一位數學專家這樣評價傳統應用題與解決問題的聯系和變革:“我們眷戀這段歷史，是因為歷史的厚重給我們鍛造了站立的平臺和攀登的臺階。我們回顧這段歷史，是因為歷史的積淀給我們指明了揚棄的理由和前進的路線。”教師只要找到“應用題”與“解決問題”的變與不變，找到繼承與創新的平衡點，就能實現從“應用題”到“解決問題”的有效漸變，真正提高學生的數學問題解決能力。

一、繼承傳統應用題教學的好經驗

應用題教學經歷了半個多世紀的改革，許多專家、名師、一線教師在長期的教學、教研實踐中，對小學應用題教學改革做了大量有益的嘗試，總結了許多寶貴的經驗，對于目前的小學數學課程改革有重要的意義，教師應當理直氣壯地堅持、繼承。

1.突出對應用問題數量關系的教學。

數量關系是數學問題的骨架。小學數學中的基本數量關系(如相并關系、相差關系、份總關系、倍比關系、比例關系)及其復合，構成了各種反映現實世界的數學模型。傳統的應用題教學非常重視數量關系的訓練:一方面，根據應用題的不同情節進行分類，抽象概括出針對不同題型的分析方法，如畫示意圖或線段圖，列表或摘錄條件，假設法，逆推法，轉化法等等;另一方面，加強數量關系的單項訓練，發現數學問題中的主要矛盾，分析數學問題中的內在聯系，如根據條件提問題，根據問題想條件，使數量關系的訓練日常化。這些行之有效的方法，正是新課程標準改革實驗需要繼承的精華。

近來，要求新教材應用題“加強數量關系教學”的呼聲增多。這一呼聲，反映了應用題教學的內在要求。因為不管應用題的呈現方式如何變化，只要其“根據已知條件解答相關問題”的本質屬性不變，就必須引導學生分析數量關系。只有熟悉常見的數量關系，掌握分析與綜合的思考方法，學生在獲取信息后才能迅速地根據題里數量間的關系，正確地作出解題方法的判斷。試想，一個搞不清數量之間關系的學生，怎會提出問題、分析問題、解決問題呢?同時，如果淡化了解題分析，弱化了數量關系，會加大“兩極分化”現象，尤其是隨著年級升高，使一部分中等生也成了學困生。

2.有效構建數學模型的一些具體方法。

學生解答應用題的過程實質上是從具體的問題情景中抽象數學問題(數量關系)的過程，其確定算法的理論依據是四則運算的意義。傳統應用題教學中，引導學生認真分析現實情景中的數學因素(數量與數量關系)，建立模型，運用模型解決實際問題，并在實際運用中驗證模型的正確性等做法，都可以成為引導學生從實際問題情景中探索隱含的數學模型，然后確定解決問題的有效途徑或辦法，是值得繼承的。

盡管在新教材中，應用題呈現的形式及條件和問題的特點發生了一些變化，但其“根據已知條件解答相關問題”的本質屬性并沒有變化。因此，新教材的應用題教學與傳統應用題教學具有相同的基本規律，即“分析題里數量間的關系”，“掌握分析與綜合的思考方法”，“掌握特定問題的解題思路”，“學會借助畫線段圖等輔助手段來幫助理解題意和分析數量關系”等。但事實上，這些基本規律在新教材的應用題教學過程中逐漸被淡化，甚至被排斥。

3.加強學生初步的邏輯思維能力培養。

培養學生初步的邏輯思維能力，是小學數學教學的重要內容，更是應用題教學的“強項”。傳統應用題教學非常重視這一教學目標，其加強學生初步的邏輯思維能力培養的做法值得提倡，即兩個“結合”、一個“加強”:將邏輯思維能力的培養與“數量關系的分析”結合起來，與“分析、綜合的思考方法”結合起來;加強“說”的訓練，說思考過程，說解題思路。

然而近年的教學中，出現了“過于應用”的傾向，教師有意或無意地削弱了學生邏輯思維能力的培養，課堂中大多數學生不能“有條理地”、“清晰地”表述思考過程，有的學生語無倫次，有的學生會做不會說。這不僅影響了應用題教學目標的和諧達成，還使學生在數學素養與數學能力方面形成了新的缺陷。事實上，這種“糾正了舊的不足，又產生了新的不足”的現象，是當前數學課程改革要特別警惕的。

4.幫助學生厘清解題思路的話語系統。

傳統的應用題教學中，教師經常會問學生“你是怎么想的?”“先算什么?”“為什么要先算?”“誰能完整地把你的想法告訴大家?”“你能提出哪些數學問題?”要求學生運用“根據……可以求出……”“要求……需要……”“知道……可以得到……”的句式表達思路。這些話看似簡單，恰恰是教師幫助學生梳理和提煉解題思路的拐杖，它能幫助學生厘清解題思路，能讓解決問題的隱性策略顯性化，是值得繼承的話語系統。

5.注重應用題的課堂練習和基本訓練。

練習被稱之為“溝通知識與能力的橋梁”，既是加深理解和鞏固所學知識的手段，又是學生由知識向能力、智力轉化和發展的有效方法，還是教師了解學生情況及調控教學的重要手段。傳統應用題教學中，關于練習的設計，既強調“變化”，如題材的變化，結構的變化，數量關系的變化，又敢于“類型化”、“題組化”，切實使學生掌握一類問題的解題思路。關于練習的層次，遵循“模仿——變式——發展”的思路，尤其是新題教學之后，適當增加模仿練習，使學生在知識遷移中鞏固技能。關于練習的內容，既針對學生的“學”而“練”，又重視基本的練習和基本技能的訓練。這些做法無疑都是正確的。

二、創建解決問題教學的新思路

“應用題”是一座寶庫，是數學基礎教育歷史中淘出來的金子。但教師也必須清醒地認識到傳統應用題教學中存在的一些問題:教學目標相對單純，例題與習題條件單一，問題基本不開放，呈現方式多為純文字敘述式，題材沒有密切聯系學生生活，問題現成且多為“人造”，缺乏“提出問題”的過程，在解題模式上下功夫，將解應用題套路化，評價對學生的激勵不夠等。這些“短處”需要借助“解決問題”這一載體進行不斷修正、完善、創新，使其更好地體現數學思考價值。

1.追求目標多元，準確把握解決問題的價值取向。

《課標》規定“解決問題”的總體目標是“初步學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題。”具體要求包括:(1)逐步學會從數學的角度提出問題、理解問題并能綜合運用所學知識和技能解決問題。(2)形成解決問題的基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神。(3)學會與人合作，能與他人交流思維的過程和結果，逐步形成評價與反思的意識。

認真審視“解決問題”這些目標時，不難發現，它們以知識與技能為基礎，以數學思考為核心，以情感態度作為調節。其他目標可以通過“解決問題”這一活動來達成。對解決問題目標的把握，可以分為以下四個方面:

第一，解決問題是一系列的學習活動，并非單一的解決問題的過程。具體說，目標要求首先要讓學生面對和嘗試不同的現象，在不同的情境中“從數學的角度提出問題”。能夠識別存在于數學現象或日常的、非數學的現象與問題中的數學問題或數量關系，并把他們提出來，然后才是解決問題。傳統應用題教學中，學生較為習慣直接面對一個確定的問題，思考解題方法，而提出問題是教師或教材的職責。“解決問題”目標把“你發現了什么”這一過程還給了學生，成為學生問題解決過程的第一步。

第二，在問題解決的過程中，倡導運用數學的眼光、數學的知識技能、數學的思想方法，提出解決問題的假設，但更強調知識的綜合運用，包括學科內部以及學科間知識的整合。教學要培養全面發展的人，就要在突出學科育人功能的同時，走出學科本位。實際上，在現實生活中，包括數學學科內部以及其他學科學習過程中，學生所遇到的問題，往往需要綜合多方面的學科知識與方法才能解決。這一目標為解決問題開闊了視野與思路。

第三，強調策略在解決問題過程中的作用，倡導問題解決策略的個性化體驗與積累。對于學生發展而言，問題解決的真正意義不只是獲得具體的結論，很重要的一個方面在于體驗問題解決過程中策略的多樣化。學生由不會做到會做，需要的就是策略的支持。這也是解決問題關鍵的一步。在多樣化的鼓勵下，形成思維的個性化，這也是創新思維培養的重要途徑。張奠宙、孔企平等專家提出了一系列解決問題的策略，包括:模擬，使用一種圖或者模型;摘錄與列表，尋找模式;倒推，使用猜測與檢驗;用另一種方法重述問題，使問題簡單化、解部分問題;一一列舉等。

第四，強調問題解決過程的個體性與全體性的結合，強調問題解決對于發展學生思維品質的重要教育價值。教學的本質是師生交往，積極互動，共同發展的過程，數學問題解決的過程又是一個思考的過程、反思的過程。所以，在教學中，教師應該倡導自主探究下的合作交流，倡導學生不同思維成果的碰撞與共生。

2.精心設計問題，著力發展學生創造性數學思維。

美國數學家哈爾莫斯指出:“問題是數學的心臟。”的確，問題是數學的靈魂，是發展學生思維的中心。巧妙的問題可以誘發學生的好奇心和求知欲，激發學生興趣，有效促進學生在數學思維上的發展。作為新課程標準下的“問題解決”教學，其實質是學習者面對新的情境下所進行的數學思維訓練，實施者的價值取向和問題設計的內置思維空間大小將直接影響學生進入問題解決的學習策略活動質量。那么，解決問題教學中應該創設怎樣的問題情境?怎樣的問題情境才有價值?這是值得每一個教師深思的問題。

學生的學習是一個主動建構的過程，而不是被動接受。所謂問題，是指對學習者來說沒有現成方法可以解決的情境狀態，它需要學習者經過思考和探索才能解決的。所謂數學問題情境，是指以數學問題為主體的真實的任務環境。它包括知識的背景、數學問題、數學問題表征(虛擬現實、高質量視頻等)和問題的操作空間。知識背景包括學習新知識所應具備的經驗、體驗和思維方式等，學生的生活經驗與思維方式尤為重要;從問題呈現的角度看，數學問題表征是問題的外包裝，它可以使問題變得具體形象、生動有趣，使問題更具有吸引力;從解決問題的過程看，它應該能夠輔助(支持)學生思考，應該是“過程化”的表征，表征服務于問題和問題解決，有時，在問題呈現時可能無表征或有簡單的表征，即赤裸裸地呈現數學問題，教師應該看重“過程化”的表征;思維空間是問題操作空間的核心部分，是數學問題質量高低的重要標志，也是數學問題情境的重點。數學問題情境直接指向學生的學習，服務于學生學習的全過程，從學習心向的確定直至完成知識的建構都是在數學問題情境中進行的。置學生的學習過程于問題解決過程——這是數學問題情境的核心。評價一個問題是否有價值，最重要的指標是看其內置的思維空間是否廣闊，能否有利于《課標》中規定的“解決問題”的總體目標實現。

現行教材在“問題解決”板塊的內容體系、編排與呈現等方面做了很多嘗試，如:問題情境的設計要符合學生的認知規律，要與實際生活相聯系，要具有挑戰性和開放性，要具有寬綽的實踐空間等。所有這些，雖顛覆了長期以來形成的應用題標準化題型的模式，突破了傳統應用題的諸多不足，但存在著片面追求、走極端的傾向，如過度創設情境且過于華麗，呈現方式以純圖片、半圖片半文字居多，只重視數學問題生活化，而忽視生活問題數學化，一些應用題的題材與內容出現了“去兒童化”、“過于社會化”和“成人化”的傾向，似乎社會生活的內容都可以成為小學生解決問題的對象，而忽略了一個基本事實，即小學生的思維水平和能力發展都處于“初步學會解決簡單的實際問題”這一初級階段。特別是通過問題的設計與解決促進學生創造性數學思維的發展上還有很長的路要走。

解法1:三個女孩分一個匹薩餅，另外三個女孩分另一個匹薩餅。這六個女孩中的每個女孩都與三個男孩中的每個男孩分得同樣多的匹薩餅。但是有一個女孩沒有分得匹薩餅。所以，每個男孩分得的匹薩餅更多。

解法2:三個女孩分一個匹薩餅，剩下的四個女孩分一個匹薩餅。剩下的四個女孩每人分得的匹薩餅要少于每個男孩分得的匹薩餅。所以男孩分得的匹薩餅更多。

解法3:7個女孩有2個匹薩餅，3個男孩有1個匹薩餅。女孩所擁有的匹薩餅是男孩所擁有的匹薩餅的2倍。但女孩的人數卻不止男孩人數的2倍，所以男孩分得的匹薩餅更多。

解法4:每個匹薩餅被分成4塊。每個女孩分得1塊，還剩余1塊。每個男孩分得1塊，也還剩余1塊。剩下的1塊必須由7個女孩再次來分，而另外剩下的1塊只需要3個男孩再次來分，所以男孩分得的匹薩餅更多。

蔡金法博士的這個研究例子，在問題設計上內置了可為學生進行常規策略和非常規策略解決的廣闊的思維空間，顯示了在發展學生思維上的良好創意。結論也表明:中國課堂教學在培養學生的常規策略上具有有效性，美國課堂教學在發展創造性數學思維上具有有效性。這是值得教師思考和借鑒的。

西方一些發達國家、和我國隔海的鄰居日本、陸地鄰居俄羅斯都非常重視“應用題”，他們命制的應用題很有特點(在“解決問題”口號的推動下，國內教師也原創了許多極有特色的數學應用題)，教師要注意收集或參考。

【案例1】弗賴登塔爾有一個經典的“巨人手印問題”:昨夜外星人訪問我校，留下了一個巨大的手印，今夜他還要來，試問，我們給他坐的椅子應該有多高?他用的新鉛筆應該要多長?

這個題目好懂、有趣自不必言，尤其是體現比例的思想，通過測量兩只手大小的比值，將比值用于設計椅子高度和鉛筆長度，這是比、比例、相似等數學本質的體現。問題要求學生進行操作、測量，更是一個絕好的數學活動。

【案例2】(荷蘭)甲離學校10公里，乙離甲3公里，問乙離學校幾公里?

本題訓練學生的表示能力。首先要問:甲、乙學校是否在一條直線上?如果在一條直線上，答案有兩個。如果不在一條直線上，答案無限多，但都位于一個圓上。

【案例3】1993年，國際數學教育心理學組織(PME)在日本舉行時，日本的一堂公開課上有這樣一道題:設計一花壇，使它的面積為矩形場地的一半。要求美觀。

這是數學和藝術相結合的開放題，開放度極大(如圖示)。日本學生當堂有13種解答。

應用題教學改革是一個很大、很難的課題。當前，“取”傳統經驗之所長，“補”現時教學之所短，是優化新教材應用題教學的必然選擇，也是解決新教材應用題“教學效果不佳”等問題的根本對策。新理念雖好，但不可過度演繹，傳統經驗雖舊，卻是長期教學實踐的智慧結晶，不可偏廢。需要教師用新的觀念、積極的心態、創造性的工作、“揚棄”的態度，去繼承傳統應用題教學的寶貴經驗，去適應國內外教學改革的潮流。這樣，應用題教學改革才可能成為課程改革的一個亮點。