基于VaR的股指期貨套期保值研究

摘要:中國證券市場起步于90年代初期，由于缺乏風險對沖工具和做空機制，市場長期以來一直處于單邊市狀態，即投資者只能通過買入股票并等待其上漲來獲得收益，如果市場處于下跌通道之中，投資者或者被動忍受損失，或者離場觀望。而中國證券市場波動又比較劇烈，這就更加大了投資者的投資風險。滬深300股指期貨的推出將使得國內證券市場格局發生重大變革:一方面，投資者可以通過投機來獲利;另一方面，投資者可以通過股指期貨進行避險，即所謂的套期保值。

關鍵詞:股指期貨;套期保值;VaR

一、引言

股票價格指數期貨套期保值(簡稱股指期貨套期保值)，指股票現貨投資者通在期貨市場上持有與其現貨市場相反的交易，由期貨市場上的盈利(或虧損)抵現貨市場上的虧損(或盈利)，從而達到保值的效果。利用股票指數期貨來對單股票或股票組合進行套期保值，其關鍵問題是買賣多少數量的指數期貨來對一定量的股票資產進行套期保值，以使現貨頭寸和期貨頭寸組成的投資組合在持有期價值波動的不確定性最小，即求最小風險的套期保值比率問題。商品期貨由于標物與需要保值的現貨一般具有同質性，因而套期保值比率的計算相對簡單，在實操作中往往采用1:1的套期保值比率。但在股指期貨中，投資者所要保值的股票可能包括股指期貨標的指數的所有成份股，所以，要保值的股票組合的價格波動會與股票指數價格波動幅度存在差異。這樣，就加大了股指期貨套期保值的難度，影響了套期保值的效果。

二、現有研究回顧

1)簡單的套期保值理論

股票指數期貨(簡稱股指期貨)用于規避股票系統風險，是通過套期保值實現的。實質上套期保值交易無論做多還是做空都是一種防御性的策略。由于不同的套期保值者擁有不同的效用函數，要把不同投資者的效用函數用數學方程精確地表達十分困難。為了簡化研究范圍，一般的套期保值比率估計不選擇期望效用最大化套期保值策略，而選擇較簡單的收益率方差最小化套期保值策略。所謂收益的最小風險套期保值即在進行套期保值操作后，如果股票價格果然如保值者所擔心的那樣，出現對自己不利的變化，股票指數期貨市場盈利基本上能彌補現貨市場上的虧損。因而使股票現貨損失達到風險最小化，此時的現貨頭寸與期貨頭寸的比率稱為股票指數期貨最小風險保值比率。假設投資者在單位時間內持有現貨頭寸和期貨頭寸的收益率分別為Rs和Rf，設套期保值比率為H，則套期保值組合的收益為:

Rp=Rs+HRf

其中投資組合Rp用方差度量的風險為:

Var(Rp)=Var(Rs)-2HCov(Rs，Rf)+H2Var(Rf)

讓Var(Rp)對H的一階導數等于0，得到方差最小化方式下最優套期保值比率:

H=Cov(Rs，Rf)/Var(Rf)

2)選擇性套期保值理論

選擇性套期保值理論認為套期保值者在期貨市場上進行的套期保值行為大多選擇性的，而不是市場性的。因為雖然交易者在市場上進行的套期保值排除了他現貨市場中對價格進行投機，但其結果并不能將風險全部轉移出去，而還要承擔貨市場與現貨市場價格變動不一致的風險，即基差風險，通過期貨市場套期保值實際上是避免了現貨市場價格變動較大時的價格風險，但接受了現貨市場和期貨場價格變動不一致的基差風險。因此，為了防范價格變動風險，交易者要進行套期保值，而為了減少基差風險，交易者要進行有選擇的套期保值。套利理論的實質是在現貨和期貨間進行的套利行為，是從可預測的兩個價格關系的變化中獲利，不是降低風險。當然，這不是說套期保值者不關心風險，而是說其交易動機是為獲利，風險的降低只不過是其發生的伴隨現象而已。從某種意義上說，套期保值不是規避風險，而是選擇風險，他不是從價格預測中獲利，而是從基差預測中獲利，為了克服基差風險，該理論提出了用基差逐利型套期保值來回避基差風險，所謂差逐利型套期保值是指買賣雙方通過協商，由套期保值者確定協議基差幅度和確選擇期貨價格的期限，由現貨市場的交易者在這個時期內選擇某日的股票指數價為計價基礎，在所確定的計價基礎上加上協議基差得到股指期貨合約的協議價格，雙方以協議價格交割，而不考慮現貨市場上該指數在交割時的實際價格。基差交易的實質，是套期保值者通過基差交易，將套期保值者面臨的基差風險通過協議基的方式轉移，套期保值者通過基差交易可以達到完全的或盈利的保值目的。套期值者承擔了基差風險，因此，套期保值被看作基差投機，是期望通過對基差的高低買，獲得無風險收益。可以用基差的變化與套期保值的結果來說明這一理論的實性。基差是表示現貨價格與期貨價格關系的一個特定概念，具體定義為:基差(basis)=現貨價格-期貨價格，即b=S-F，設:

T代表合約到期日的時間

t為合約到期前的某一時間點

s為現在某一商品的現貨價格

F為現在某一商品的期貨價格

Sr為合約到期日的現貨價格

Fr為合約到期日的期貨價格

代表不同套期保值策略下的盈利或虧損

那么，空頭套期保值結束時的盈利或虧損則為:

多頭套期保值結束時的盈利或虧損則為:

在某些情況下，保值者在合約到期前的t時將保值頭寸平倉，結束套期保值，這時的盈利或虧損為:

應當指出，上述各式都是以隨著時間變化在忽略交易費用及盯市保證金利息的前提下建立的。據定義:

b=S-F

bt=St-Ft

br=Sr-Fr，則

顯而易見，套期保值的盈利或虧損簡單地講就是基差的變化值△bt，人們利用期貨市場的功能，回避或轉移了現貨市場較大的價格風險，△St，而選擇承擔著正常情況下非常小的基差變動風險 △bt，因此套期保值的本身也具有一定的投機風險性，只不過產生的風險水平遠小于未套期保值頭寸的價格風險而已。該理論認為，套期保值的關鍵并不是要消除價格風險(其實這也不可能做到)，而在于通過尋找基差方面的變化或預期基差的變化來謀取利潤，或者說通過發現期貨市場與現貨市場之間的價格變動來尋找套期保值的機會。在這種意義上，套期保值是一種套期圖利(spreading)行為。套期保值者只有在他認為有獲利機會時，才會去進行套期保值，因此，套期保值是投機的一種，他不是投機于價格，而是投機于基差。

針對傳統套期比不能反映期貨套期保值的真實情況，現有研究對套期比表現出極大的興趣。

三、VaR的期貨最優套期比原理

VaR(Value at Risk)是一種利用現代數理技術測度金融風險的方法。菲利普.喬瑞給出的權威解釋是:“在一定概率水平下(置信度)，某一金融資產或證券組合在未來特定的一段時間內的最大可能損失。”其數學定義為:P(ΔV>VaR)=1-a。式中，ΔV為投資組合在持有期Δt內的損失;VaR為置信水平a下處于是風險中的價值。

考慮一個投資組合，設V0為初始價值，r為投資回報率，μ為期望收益率，在給定置信水平a下，投資組合的最小價值是V*=V0(1+r*)，其中r*表示最低回報率。此時，VaR為投資組合的期望價值與最小值之差。VaR=E(V)-V*=-V0(r*-μ)，如果考慮投資組合未來回報行為的隨機過程，假定其未來回報的概率密度函數為f(V)，在給定的置信水平a下，低于V*的概率為:

上式對于任何分布以及不考慮敞開的大小如何讓都是可以計算VaR值的，即VaR=E(V)- V*。

從以上定義可知，計算VaR就相當于計算投資組合最小值(或最低的回報率)。如果把套期保值資產組合收益率看作隨機變量，就可以用它的VaR測量組合風險水平。

基于VaR的套期比優化原理就是首先在特定時間內和一定置信水平的前提下，確定現貨與期貨的每個套期比對應套期保值資產組合一個VaR風險值，再對這個VaR風險值進行最小化，以得到最優套期保值策略。

四、Copula_VaR套期保值模型

1.套期保值的數學描述

考慮一個套期保值資產組合，其中包括Cs單位多頭現貨頭寸和Cf單位空頭期貨頭寸。假設St和Ft分別代表現貨和期貨的價格。那么套期保值資產的收益率Rh為

(1)

其中:Rs=(St+1-St)/St和Rf=(Ft+1-Ft)/Ft分別表示現貨和期貨的收益率;h=CfFt/CsSt則是資產組合的套期比。

由式(1)，可則到套保資產組合的方差σh2

(2)

其中:σs2和σf2分別為現貨和期貨收益率的方差;σsf為現貨和期貨收益率的協方差。

若采用σh2來度量套保資產組合的風險，即通過最小化目標函數(2)，則可得到普遍使用的最小方差最優套期比(3)

其中:ρ為Rs和Rf的相關系數;σs和σf分別為Rs和Rf標準差。

式(2)可寫為

(4)

2.套保組合的VaR目標函數描述

套期保值最主要的目標就是選擇最優套期比。本文先在假設套期保值資產組合收益率服從正態分布的條件下，采用資產組合的VaR作為目標函數，并通過最小化VaR目標函數來確定在一定置信水平下的最優套期比。然后再對模型進行優化，考慮套期保值資產組合收益率不服從正態分布的情況。

套保資產組合在置信水平α下其收益率Rh低于-VaR(h)的概率為1-α，即

其中E(Rh)為資產組合的期望收益率;σh為資產組合的標準差;Φ-1(α)為在置信水平α的標準正態分布的分位數。

目標函數VaR(h)的好處之一是綜合了套期保值資產組合的期望收益率和風險;二是考慮到了套期保值者風險偏好。借助置信水平反映套期保值者對風險的態度，置信水平越高，套期保值者對風險越厭惡。

3. VaR最優套期比模型的建立

把式(4)代入式(10)中則得到

(11)

其中h為資產組合的套期比;E(Rs)和E(Rf)分別為現貨和期貨的期望收益率;σs2和σf2分別為現貨和期貨收益率的方差;σsf為現貨和期貨收益率的協方差; 為置信水平為 下標準正態分布的分位數。

該模型的特點一是以收益率的VaR形式為優化目標，綜合了套期保值者期望收益率和風險偏好，解決了現有研究忽略套期保值者期望收益率和風險偏好參數人為設定的不足，使期貨合約的選擇直接反映了套期保值者的風險承受能力。二是在考慮現貨和期貨風險之間的相關性基礎上，任意一個決策者在一定置信水平下，用組合VaR的收益率最大損失來控制風險限額，總能找到對應的風險最小的套期保值組合，從而求出VaR最優套期比.

4. VaR最優套期比的推導

對目標函數(11)關于套期比h求導，首先一階導數等于零得到若干個解，其次驗證目標函數的二階條件是否大于零，再次還要比較相對應的VaR大小來確定最優套期比。最終得到套期比為

(12)

已有大量實證研究表明，證券收益，尤其是衍生證券收益的分布并不服從正態分布，而帶有明顯的偏度、峰度和厚尾特性。故對之前所做的套期保值資產組合的收益率服從正態分布的假設做進一步的改進和修正，本文主要采用的是Cornish-Fisher方法對分位數Φ-1(α)進行修正，通過計算套期保值資產組合收益的偏度和峰度，可以得到修正的Φ-1(α)*，即

(13)

其中ρ1、ρ2分別為套保組合收益的偏度和峰度。

將Φ-1(α)*替代Φ-1(α)代入(12)中，即可得到最終的基于VaR的套期保值最優套期比模型:

(14)

從式(14)中可以看到，VaR最優套期比可看成由反映投資需求的和純套期保值 兩部分組成。

純套期保值部分就是最小方差套期比，這是因為最小方差套期比對以方差度量風險為基礎套期保值者來說是一樣的。純套期保值部分主要體現的是套期保值者針對市場實際的價格風險而采取的套期保值策略，而沒有體現套期保值者的風險偏好。

投機需求部分主要反映的是套期保值者的對套期保值策略的風險偏好，實質上是對期貨進行投機.這一部分隨著套期者對風險的態度變化而變化，這里主要是通過對置信水平α的選取來反映，置信水平α越大，套期保值者越厭惡風險。

由VaR最優套期比的分離性可以看出，套期保值實質上是在進行純套期保值操作的同時，也借助了投機的作用，以規避現貨的價格波動風險。

五、實證研究

我國股指期貨在現階段尚未推出，但自2006年10月30號中金所就推出股指期貨的仿真交易以來，至今已經有1年多的時間了，本次股指期貨的仿真交易旨在推動廣大的證券投資者對于期貨市場的認識，增加期貨投資者對于滬深300指數標的認識，采取實名登記制度，并且在仿真交易的過程中，很多證券公司舉行了仿真交易比賽，因此本文選取仿真交易的數據。股指期貨仿真交易包括四張合約，也就是當月、次月以及此后的連續兩個季月，由于期貨合約到期后將會進行交割，而股指期貨采用現金交割的方式，所以交割月作用比較小，并且在股指期貨的四張合約中，當月合約的交易量比較大，所以本文通過在交割日時把當月合約的收盤價進行連接起來的辦法來產生連續的期貨報價.選擇的樣本內時間段是2006年10月30日仿真交易開始到2008年12月31日，共484個樣本。數據來源為中金所主頁www.cffex.com.cn。

1. 現貨數據的選擇

我國目前推出的股指期貨的標的是滬深300指數，所以選取滬深300指數作為現貨，數據來源為中證指數公司。

2. 數據處理結果

對于要進行研究的期貨和現貨的樣本內的收益率序列進行一個基本特征的統計結果。如下表:

通過表1，可以看出期貨和現貨的收益率均值差別不是很大，但期貨的標準差比較大，這主要是因為期貨市場交易成本比較低，對信息的反應比較敏感，所以波動性比較大;而同時可以看出，現貨的收益率的最小值一10%左右，這是在2007年5月30日時，股市產生了大幅的下跌，說明盡管在牛市階段，股市的下跌風險也是比較大的;通過J-B統計量，發現期貨和現貨的收益率序列均不符合正態分布。

3. VaR最優套期比的確定與討論

由式(3)得最小方差套期比h0=0.420

VaR最優套期比不同于最小方差套期比，它與套期保值者選取的置信水平α有關.因此本文對置信水平α選取了10個數據，根據式(14)計算得到最優套期比見表2

可以看出:當置信水平a越來越大時，VaR最優套期比也越來越接近于最小方差套期比.這是因為置信水平a越大，表示對應的套期保值者越厭惡風險，VaR最優套期比的投機部分所起的作用不斷減少，這就導致了VaR最優套期比趨近最小方差套期比。

由于基于VaR的最優套期比比普通的套期比和最小方差套期比較小，可得到如下結論:VaR最優套期比與傳統套期比和最小方差套期比相比，可以購買較少的期貨，而有效地規避現貨的價格風險，同時還節省了保證金。

六、結論

(1) 基于VaR的套期保值不僅考慮到套期保值者的套保需求，同時也考慮到了他們的投機需求。

(2)從套期保值所需的期貨數量、保證金等角度得出基于VaR的套期保值模型比傳統套期比、最小方差套期比更有效的結論。

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(作者單位:南京航空航天大學經濟與管理學院)