梯形蝴蝶定理在面積計算中的妙用

一、蝴蝶定理的起源

在圓O內，有一條弦MN，其弦中點為P，過P任意作兩條相交弦AB和CD(如圖1)，連結BC、AD，分別交弦MN于E、F，則PE=PF.從這個幾何圖形上看，它就像是一只翩翩起舞的蝴蝶，因此稱之為蝴蝶定理.這是一只在圓中飛舞的蝴蝶.

而在梯形中，也存在著一只美麗的蝴蝶(如圖2).在梯形ABCD中，AB//CD，對角線AC、BD相交于點O，則:

①S△AOD =S△BOC;

②S△AOD#8226;S△BOC=S△AOB#8226;S△DOC.

這是梯形中飛舞的蝴蝶，故稱之為梯形蝴蝶定理.

二、梯形蝴蝶定理的證明

①根據等底等高的兩個三角形的面積相等，可知S△ADC=S△BCD，即S△AOD+S△DOC=S△BOC+S△DOC，所以S△AOD=S△BOC .

②分別過點A、C作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F(如圖3)，

則S△AOD=DO#8226;AE，S△BOC =BO#8226;CF，S△AOB=BO#8226;AE，S△DOC=DO#8226;CF

故S△AOD#8226;S△BOC =S△AOB#8226;S△DOC .

利用梯形蝴蝶定理中的這兩個結論，解決某些面積計算或等積(面積相等)變形問題，可起到事半功倍的效果.

三、梯形蝴蝶定理的應用

例1如圖4所示，B、C、F三點在同一條直線上，線段AF與平行四邊形ABCD的CD邊交于點E，如果△DEF的面積為6平方厘米，求△BCE的面積.

解:連接AC.

∵AD//CF，由梯形蝴蝶定理可得S△ACE = S△DEF =6

∵AB//CE，則有S△BCE = S△ACE =6.

例2如圖5所示，EF為△ABC邊上的點，CE與BF交于點P，已知△PBC的面積為12，并且△BEP、△CFP、四邊形AEPF的面積相等.求△BEP的面積.

解:連接EF.

∵S△BPE =S△CFP

∴△BEF與△CFE的高相等，則有EF//BC

設△BEP的面積為S，由梯形蝴蝶定理，可得:S△EFP=，則S△AEF =S-

由△AEF∽△ABC，△EFP∽△CBP可知:=()2 ，=()2

∴=， 即=，解得:S=4.

例3如圖6所示，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=3cm，AD=6cm，點E為AB邊上的任意一點，四邊形EFGB也是矩形，且EF=2BE，求S△AFC .

解:連接FE，由 tan∠FBG=，tan∠ACB=，可知:∠FBG=∠ACB，∴FB//AC，令FC與AB相交于點O，則:S△AFO = S△BCO ，S△AFC= S△ABC =×3×6=9.

例4 如圖7所示，P是邊長為8的正方形ABCD形外一點，PB=PC，△PBD的面積等于48.求△PBC的面積.

解:如圖7所示，設PD與BC交點為O，取BC中點E，連接PE 、DE，則S△CEP = S△BEP

由PE//DC，則有S△COP = S△DOE

由于 S△PBD =S△DBE +S△DOE + S△POE + S△BEP = S△DBE +S△COP +S△POE +S△BEP=S△DBE +S△PBC

而S△PBD =48，所以S△DBE =BE#8226;CD=×4×8=16

故48=16+S△PBC，所以 S△PBC =32.

本欄責任編輯羅峰