圓規為媒 半徑引路

“圓的認識”可謂是深受公開課老師所垂青的課題，多年來，這一課的教學已經被諸如黃愛華、華應龍、張齊華等名師們演繹了各種廣為流傳的版本，演進的過程中也不斷有新的觀點和亮點出現，令人嘆為觀止。前不久，我在集團內一次研討活動中挑戰此課，有效汲取名師成功之處，并大膽揚棄，始終抓住“圓規”這一媒介，緊圍“半徑”引路，突出學生在動態的過程中去認知、思考和操作，豐富學生的空間觀念，發展學生數學思考，亦取得了很不錯的教學效果。現整理其中的兩個片段及自己的體會，以就教于方家。

[片段一]

師:請大家自由地在本子上畫幾個大小不等的圓，并思考畫圓的過程中你的小技巧。

生1(指著自己的本子):針尖這點不能動，一動就會歪了。

生2(指著自己畫的圓):兩只腳間的距離不能動，一動也不圓了。

生3:我畫了幾次，越畫越漂亮，感覺拿圓規轉圈時要自如些，不然也畫不好。

師(邊演示邊說):我們畫圓時，一定感覺到了有些東西始終沒變，是什么?

生4、5:固定的那個點!

師:這固定的一點在數學上我們稱之為……

生(齊聲):圓心，用字母“O”來表示。(我已經布置學生課前預習了)

師:這圓心是看得見始終沒變的點，你們還能感受到什么東西也一直沒變?

生6:兩腳間的距離。

師:你有什么辦法能讓大家直接看出兩腳間的距離?

生6:將兩只腳尖用線連起來，不就得了!

生6(急忙補充):黑板上這個圓的圓心和圓上的任意一點連起來就是。

(我按學生所說的在黑板上連線，并故意先連圓內，再連至圓外，讓學生辨別圓上點與圓內、圓外點的區別。)

師:數學上，我們把從圓心到圓上點的線段稱為什么?

生(齊聲):半徑，用字母“r”表示。

師:請大家思考，在一個圓內半徑會有多少條?為什么?

生(稍加思考，齊聲):無數條!

生7:因為圓上密密麻麻的有無數個點，而圓心是固定的，所以半徑就有無數條。

師:這些半徑的長度呢?

生(齊聲):都相等。

師:為什么?

生8:我們剛才量過其中的4條，半徑是相等的，所以我們想所有的半徑長度都相等。

生9(不屑一顧地):當然相等，如果不相等它就不圓了。

生10(跑上講臺):看，我們剛才畫圓時，這兩只腳之間的距離是固定的，剛才不是說這兩腳間的距離就是圓的半徑嗎?所有半徑的長度當然都相等。

師:由曲線圍成的圖形，一定是圓嗎?(出示扁橢圓)

生(齊聲):不是，是個橢圓。

師:為什么?

生11:我們一眼就能看出，中間固定的那點到橢圓上面的點的距離小，而到橢圓左邊的點的距離大。

師:看來，圓是由曲線圍成的一個很“飽滿”的圖形喲!不會有的地方是“癟”的(邊說邊演示，先將扁橢圓逐步變成圓，再變成瘦橢圓)。

[體會]這是課始學生通過直觀比較，初步知道圓是由曲線圍成的圖形后的一個重要環節。我先讓學生用2分鐘時間自由畫一些圓，并思考操作過程中的技巧，讓他們在一次次練習中思量如何將圓畫漂亮，發展與操作同步的數學思考，“小技巧”也就蘊含在圓規的一次次調整使用之中了;緊接著讓學生畫出“看不見”的半徑，說出是哪點與哪點間的線段，表面是對半徑概念認識的一次形式創新，其實更是為下面探索半徑的特征所作的一個極佳孕伏;然后讓學生借助操作、推理來明白——圓有無數條半徑、半徑長度都相等，應該說過去只通過量半徑的長度得出其相等是有局限性的，甚至是不可靠的(因為學生尺的精確度是有限的)，這里我再現畫圓過程，讓學生現場深切地感受到圓規兩腳間距離始終沒變，所以在一個圓內半徑長度都相等，這樣的推理更加有力度，且符合高年級學生的認知水平;最后是對圓的概念的一次重要補充性“反芻”，如果在前面講“飽滿”，學生是難以接受的，只有當此處掌握了半徑的特征之后，通過“橢圓”這一也是由曲線圍成的圖形，通過“正難則反”來強化理解。

[片段二]

師:請大家畫一個直徑為4cm的圓。

師:你是怎么操作的?

生1:我先在尺上量出圓規兩腳間的距離是2cm，然后將有針尖的腳固定在本子上，接著讓另一只腳旋轉一圈，這就成了一個直徑為4cm的圓。

師:如果老師在這個圓外畫一個最小的正方形(出示圖)，你能推理出這個正方形的什么?

生2:我能知道正方形的周長是16cm，面積是16cm2，因為正方形的邊長與圓的直徑是相等的，都是4cm。

師:如果圖是這樣的呢(如下圖)，你又能推理出長方形的什么?

生3(很快地):長方形的寬是4cm，長是8cm，還能求出它的周長和面積。

師:老師為每個組提供了一個正六邊形，你們能在這個正六邊形中畫出一個盡可能大的圓嗎?

生4(代表小組到展臺上演示):我們先找圓點，就是將兩條對角線連起來相交的這個點;再量半徑，就是從剛才找的圓心到一條邊上的距離;現在就可以畫圓了。我們還試過，如果半徑再大一點，圓有些部分就會畫出去了。

師:你們組真能干，畫圓的關鍵就是——確定圓心的位置和半徑的長短。

師:現在老師想請大家幫個忙，在我們這個長方形的教室里畫一個最大的圓供大家做游戲，請商討一下你們的畫法。

生5、6(合作):我們先用繩子將兩條對角線拉起來，就會發現有一個交點，這就是我們要找的圓心;接著用繩子量出這個圓心到最近的一面墻的距離(邊說邊現場去測量)是3.2m，這就是我們要找的半徑;但沒有這么大圓規，我們受書上畫圓方法的啟發，拉著繩子轉一圈就畫出這個最大的圓了(邊說邊比劃著，一人用固定圓心，另一人套著粉筆拉著繩子轉了一圈)。

[體會]學會畫指定大小的圓，是本節課實踐操作的一個重要目標。第一環節讓學生畫指定大小的圓，明確畫圓時兩腳間的距離是半徑而非直徑，同時通過長方形、正方形與內接最大圓的比照，觀察出直線圖形與曲線圖形間的巧妙內聯;第二環節是第一環節的發展，讓學生憑借以前的表象和平時的一些經驗，進一步深刻領會畫圓的關鍵是要做到兩確定——確定圓心的位置和半徑的大小;第三環節則是第二個環節的拓展，不僅要確定圓心位置、半徑大小，還要創造出“新圓規”來畫生活中的超大圓，是對畫圓操作的一次智力挑戰，很有體驗和創新價值。

[感悟]比起名師們所示范的“圓的認識”，我的課少了些許“文化味”，少了些許“周密性”……但我堅持挖掘數學內容自身的“原生態”魅力，全課緊緊抓住“圓規”這一工具，牽著“半徑”這一核心概念，帶領學生探索圓的一些基本概念、特征，引領學生進行圓的一些基本操作和創新實踐，好比經歷了一場“圓中游春”“樹下講學”式的活動盛宴，對學生掌握基本知識、形成基本技能、享受基本體驗，都是大有裨益的。崇拜名師，但非致“千課一面”，需要借鑒的是其先進的教育理念，這就要求我們以理智的頭腦打造出適合自己教學風格、適合本班學生實際的案例，這樣才能讓我們的數學課對當下的學生大有益處。