由數字任意組成三位數與兩位數之積的最大值研究

引例(改編自北師大版四年級上冊第41頁習題):

用1、2、3、4、5這5個數字，任意組合成一個兩位數和一個三位數，求使其積最大的三位數與兩位數。

由1、2、3、4、5這5個數字，共可以組成120個三位數與兩位數積的算式。顯然，按照計算的方法不利于尋找積最大時對應的三位數與兩位數，因此尋求一個三位數與一個兩位數積最大的一般規律很有必要。

由5個數字任意組成一個三位數和一個兩位數，使它們的積最大的一般規律是:

將已知的5個數字按照從大到小的順序排列為:n1，n2，n3，n4，n5，當選擇三位數為n2n3n5、兩位數為n1n4時，三位數n2n3n5與兩位數n1n4的積必為最大。

這一規律可圖示為:

按照這個方法將引例中所給5個數從大到小寫為:5、4、3、2、1，則取三位數為431、兩位數為52時，431×52=22412是最大的積。

分析推證:

首先，要組成沒有重復數字的一個三位數與一個兩位數共需要5個數字，因此當已知中所給數字多于5個時，選擇其中的5個即可。

其次，由于要考慮積最大的問題，因此選擇的5個數應盡可能的大，所以將已知所給的數字按照從大到小的順序排列，依次取前五個數字研究即可。

第三，設從大到小順序排列的5個數依次為:n1、n2、n3、n4、n5，下面分析它們怎樣組合，可以使組成的三位數與兩位數的積最大。

為此設組成的三位數為ABC，兩位數為XY，按照數的組成則有:

ABC=100A+10B+C;XY=10X+Y

考慮二者的積ABC×XY:

ABC×XY=(100A+10B+C)×(10X+Y)

=1000AX+100(BX+AY)+10(CX

+BY)+CY

按照整數比較大小從高位比起的方法，上式說明尋找積最大的三位數與兩位數，需要從高位開始依次考慮，即要使得:

①AX最大;

②BX+AY最大;

③CX+BY最大;

④CY最大。

這一比較直到A、B、C、X、Y完全確定時為止。

按照如上分析，針對從大到小排序的n1、n2、n3、n4、n5，確定A、B、C、X、Y的取值，推證使ABC×XY的積最大的一般規律性。

第一步:要使AX最大，必然要選擇序列n1、n2、n3、n4、n5中的前兩個數字，因此有A=n1、X=n2或A=n2、X=n1兩種情形，此時得到的算式依次為n1BC×n2Y或n2BC×n1Y，由于AX=n1n2，說明目前兩個算式積的最高位上的數字相同都是n1n2，需要繼續考慮下一數位。

第二步:在第一步的基礎上，確定B和Y以使BX+AY最大，

分別考慮如上兩個算式:

對于n1BC×n2Y有:BX+AY=Bn2+n1Y=Bn2+n1Y+(n2Y-n2Y)

=n2(B+Y)+(n1-n2)Y。

對于n2BC×n1Y有:BX+AY=Bn1+n2Y=Bn1+n2Y+(n2B-n2B)

=n2(B+Y)+(n1-n2)B。

因為n1>n2，所以比較上面兩式的大小時發現:

(1)若Y>B時，必有(n1-n2)Y>(n1-n2)B，

從而有:n1BC×n2Y>n2BC×n1Y，

此時可選擇Y=n3、B=n4，得到積較大的算式為:

n1n4C×n2n3…………(*)

(2)若Y

從而有:n1BC×n2Y

此時可選擇Y=n4、B=n3，得到積較大的算式為:

n2n3C×n1n4…………(**)

第三步:確定C，并比較算式(*)與(**)從中選擇積大者，就可找到對應的使積最大的三位數與兩位數。

顯然C=n5，即三位數的個位數字一定是已選定的5個數字中最小者。

考慮(*)中的CX+BY得到:Cn2+n4n3;

考慮(**)中的CX+BY得到:Cn1+n4n3;

因為n1>n2，所以:Cn1+n4n3>Cn2+n4n3。

說明(**)所對應的算式n2n3C×n1n4的積最大。將C=n5代入，可知所求的三位數與兩位數分別為:n2n3n5和n1n4。

推證完畢。

示例說明:由2、4、6、7、9這5個數字，任意組成一個三位數和一個兩位數，從中找出使積最大的三位數與兩位數。

解析:將2、4、6、7、9從大到小排列為9、7、6、4、2，設所求的三位數為ABC，兩位數為XY，只需確定A、B、C、X、Y的值即可。

因為ABC×XY=1000AX+100(BX+AY)+10(CX+BY)+CY。

顯然要想使積最大，首先確保AX最大，C最小，因此A、X取9或7，C取2，這樣只需考慮如下兩種情況: