掀起抽象函數的“蓋頭”來

抽象函數通常是指沒有給出函數的具體解析式，只給出了一些體現函數特征的式子(如函數遞推式，函數符號，函數的定義域，函數性質及特征，部分圖像等)的一類函數.由于這類問題能夠較好地考查基本概念及函數的思想方法、邏輯推理能力、抽象思維能力和數學后繼學習潛能，故抽象函數是高考經常考查的問題.但由于抽象，大多數學生有霧里看花的感覺，只知其然，不知其所以然，遇到新題目，本能地產生恐懼.其實抽象函數的面紗并不神秘，只需從抽象函數的“背景”入手，抓住其特征結構，通過類比、猜想出它可能為某種基本函數，或者利用函數的性質，常可覓得解題思路.

例1:(2004年全國高考數學理科卷12題)設函數 f(x)(x∈R)為奇函數， f(1)= ■， f(x+2)= f(x) + f(2)，則 f(5)= ()

A. 0 B. 1C. ■D. 5

分析:本題給出 f(x+2)= f(x)+ f(2)，可試著猜想函數為 f(x)=kx(k≠0)，又已知f(1)=■，通過賦值可知f(x)= ■x，故f(5)=■，選D.

點評:具體的函數模型對抽象函數問題的解決具有指導作用，本題通過賦值，使用特殊值思想，聯想到一次函數模型，使問題得以解決. 一次函數型抽象函數f(x±y)= f(x)± f(y).其一般特征為f(0)=0，f(-x)=-x， f(n)=nf(1)

例2: 已知實數集上的函數 f(x)恒滿足f(2+x)=f(2-x) ，方程 f(x)=0有5個實根，則這5個根之和等于

.

分析:因為實數集上的函數f(x)恒滿足f(2+x)= f(2-x)，方程f(x)=0有5個實根，可以將該函數看成是類似于二次函數y=k(2-x)2的模型，進而引出解題思路，即函數的對稱軸是x=2，并且函數在 f(2)=0，其余的四個實數根關于x=2對稱.

解:因為實數集上的函數f(x)恒滿足f(2+x)= f(2-x)，方程f(x)=0有5個實根，所以函數關于直線x=2對稱，所以方程的五個實數根也關于直線x=2對稱，其中有一個實數根為2，其它四個實數根位于直線x=2兩側，關于直線x=2對稱，則這5個根之和為10.

例3:(2009年四川高考數學文科卷)已知函數f(x)是定義在實數集R上的不恒為零的偶函數，且對任意實數x都有xf(x+1)=(1+x)f(x)，則f(■)的值是()

A. 0B. ■C. 1D. ■

解法1:若x≠0，則有f(x+1)=■f(x)，取x=-■，則有: f(■)= f(-■+1)=■ f(-■)=- f(-■)=- f(■)(∵ f(x)是偶函數，則

f(-■)= f(■)，由此得 f(■)=0.

f(■)= f(■+1)=■ f(■)

=■f(■)=■f(■+1)=■[■]f(■)=5 f(■)=0.

解法2: ∵ xf(x+1)=(1+x)f(x)，∴ ■=■.

構造函數g(x)=■，得g(x+1)=g(x)，∴ g(x)為周期函數，周期T=1，又因為y=f(x)為偶函數，g(x)=■為奇函數，從而g(0)=0，由于周期T=1，聯想到y=sinx，其周期2?仔，sin?仔=0，可得g(■)=0，又周期為T=1，∴ g(■)=0.

點評:方法1解決的關鍵是充分用函數的奇偶性和xf(x+1)=(1+x) f(x)，再通過賦值解決問題.方法2通過構造g(x)=■，推出g(x)為周期函數，再由g(x)為奇函數聯想到y=sinx，這是解決本題的關鍵.其實此處利用了函數性質(若 f(x)是定義在R上的奇函數，其圖像關于直線x=a對稱，則f(x)是周期函數，且4a是它的一個周期. 此題由于g(x)=■為奇函數，周期為1，其對稱軸為x=■).

責任編輯羅峰