數(shù)學(xué)概念中的“死”與“活”

概念是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的知識，數(shù)學(xué)中概念的描述一般都是固定的，即相對來說是“死”的.但概念的內(nèi)涵是豐富的，形式上有時(shí)是可變的，即相對來說是“活”的.

1. 概念中字母的“活”

高中課本對周期函數(shù)是這樣定義的:“對于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每個(gè)值x時(shí)，f(x+T)=f(x)都成立，那么函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù)，T即為它的一個(gè)周期.”概念中T為非零常數(shù)，等式兩邊的x是相同的，這是“死”的，是不可變的.但字母x的內(nèi)容是“活”的，是可變的，下面以三個(gè)例題說明概念中字母x的“活”.

例1:已知函數(shù)f(x)的定義域的R且f(x+3)=f(x)成立，則它的一個(gè)周期T=.

例2:已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足f(x+b)=f(x+a)(a≠b)，則周期可能是.

A. a+bB. a-bC. ■ D. ■

例3:證明f(x)=simx+cosx的最小正周期為2?仔.

我讓學(xué)生做這三道題，結(jié)果例1學(xué)生看了就會，而例2、例3做對的學(xué)生卻不多，原因是學(xué)生對概念中的x只看成一個(gè)死的字母，而對它的內(nèi)涵和形式的靈活性認(rèn)識不足，所以只能望題興嘆.其實(shí)例2中的f (x+b)=(x+a)可以寫成f (x+b)=f [(x+b)+(a-b)].這樣，x+b就相當(dāng)于定義中的x，而a-b就相當(dāng)于定義中的T，故便知答案為B. 學(xué)生不會做的原因是對x可用x+b代替認(rèn)識不夠.而例3中，學(xué)生不懂證明不存在比2?仔還小的正周期，也是因?yàn)閷的任意性認(rèn)識不足而找不出反例.

因此，我們在講授概念時(shí)，不但要讓學(xué)生記住它的不變形式，更要讓學(xué)生知道其可變的部分，即死里求活.

2. 概念形式上的“活”

在教學(xué)實(shí)踐我做過這樣的比較:在一個(gè)班講完奇偶函數(shù)的定義后，讓學(xué)生判斷函數(shù)f (x)=lg(x+■)的奇偶性，結(jié)果半數(shù)以上的學(xué)生誤以為是非奇非偶的函數(shù);而在另一個(gè)班在講授完定義后，再把奇函數(shù)中的條件f (-x)=-f (x)作變形，即還可寫成f (-x)+f (x)=0或■=-1，(f (x)≠0)，并告訴學(xué)生有時(shí)用這兩個(gè)條件來判斷函數(shù)奇偶性較方便，然后再讓學(xué)生做上面的練習(xí)，結(jié)果80%以上的學(xué)生能正確解答.因此我們在講授概念時(shí)，還要注意它形式上是否存在多樣性，讓學(xué)生在解題有所選擇.

3. 概念在描述方法上“活”

下面我們來看并集的概念:“由所有屬于集合A或集合B的元素所組成的集合，叫做集合A、B的并集.”這種描述雖然科學(xué)簡潔，但經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，有相當(dāng)一部分學(xué)生對定義中的“或”不理解，即弄不懂并集的元素是取“屬于A不屬于B”、“屬于B不屬于A”、“既屬于A又屬于B”這三部分的哪部分或全部?即使你告訴學(xué)生三部分的元素都要取，學(xué)生也會感到這個(gè)分類繁瑣且不易理解，于是我就補(bǔ)充了另一種較直接的辦法:A∪B的元素是由A、B中的所有元素構(gòu)成，重復(fù)部分只寫一次.這樣學(xué)生對并集的元素取哪些就很清楚了.

4. 概念間的異中求同

我?guī)У慕鼉蓪酶呷膶W(xué)生中都碰到這樣有趣的現(xiàn)象，在復(fù)習(xí)排列、組合的概念和排列、組合數(shù)的求法后，我出示了這樣的兩道題:(1)把4本不同的書分給2人，每人至少一本，有多少中分法?(2)已知集合A={1，2，3，4}，B={-1，-2}，設(shè)映射f :A→B，如果B集合中的元素都是A集合中的元素在映射下的象，這樣的映射有多少個(gè)?結(jié)果是第一題大部分學(xué)生都會，第二題卻只有少部分學(xué)生能做對，對這兩道貌異神同的題目，學(xué)生做的結(jié)果為什么有這么大的差異呢?其原因是學(xué)生對映射的概念只停留在機(jī)械記憶的水平上，未能靈活聯(lián)想和橫向聯(lián)系.其實(shí)，對于第二題中一個(gè)確定的映射，A的每一個(gè)元素在B中都有唯一的象，當(dāng)這個(gè)對應(yīng)確定后，就可以靈活地看成是把A的元素(相當(dāng)于第一題中的書)分給B中的元素(相當(dāng)于第一題中的人).這樣第二題的每個(gè)映射，就對應(yīng)于第一題中的一種分配方法，反之亦然，所以第一題、第二題結(jié)果是相同的，學(xué)生對這個(gè)解釋都嘆為觀止.

5. 概念內(nèi)涵的延伸

有些數(shù)學(xué)概念，我們要適當(dāng)?shù)匕褍?nèi)容延伸，應(yīng)用起來才能得心應(yīng)手.如解析幾何中拋物線的定義是“到定點(diǎn)與到定直線的距離相等的軌跡叫拋物線”，為需要我們可以把它的內(nèi)涵進(jìn)行延伸:“拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到和準(zhǔn)線平行的定直線的距離的差等于常數(shù).”這樣拋物線的定義的應(yīng)用就會得到推廣.

例4:已知動點(diǎn)M到定點(diǎn)F(2，0)的距離，比它到定直線x=-3的距離小1，求點(diǎn)M的軌跡方程.

分析:若我們對拋物線的定義內(nèi)涵作過上面延伸，這道題我們就會很自然往拋物線這個(gè)方向去思考，仔細(xì)分析就會得出:M的條件等價(jià)于到點(diǎn)F (2，0)的距離與它到定直線x=-2的距離相等，這樣就知道M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，以x=-2為準(zhǔn)線的拋物線. 這樣就可以輕而易舉得到它的軌跡方程.

責(zé)任編輯羅峰