小議立體幾何教學

高中立體幾何在整個高中數學中所處的地位非常重要，因為高考數學要考察學生的一項重要能力就是空間想象能力和推理能力，學生在初中已經掌握了平面幾何的基礎知識，但要進一步學好立體幾何卻并不容易，產生困難的原因是立體幾何比平面幾何研究的基本對象多了一個“面”，使得在平面幾何中點和直線之間的三種位置關系(即點與點、點與直線、直線與直線)拓展為立體幾何中點、直線和平面之間的六種位置關系，結合教學實踐，筆者認為要學好立體幾何可從以下五個方面人手，

一、樹立立體觀念。培養空間想象力

要使學生不但能想象出空間圖形并把它畫在一個平面上，還要能根據畫在平面上的“立體”圖形想象出原來空間圖形的真實形狀，為了培養學生的空間想象能力，學生剛開始學習立體幾何時，要讓他們親自動手做一些實物模型，如直線、平面、正方體、長方體，等等，通過對模型的觀察，逐步培養自己對空間圖形的想象能力和識別能力，想象這些空間圖形畫在紙上是什么模樣；同時要掌握畫直觀圖的規則，掌握實線、虛線的使用方法，為正確地畫圖打好基礎，在這個“想圖、畫圖、識圖”的過程中。不僅空間想象能力得到提高，抽象思維能力也可以得到很大提高，

二、重視邏輯推理能力的培養

立體幾何的研究方法與平面幾何的研究方法類似，即依據公理，運用邏輯推理方法，這就要求學生要重視邏輯推理能力的培養，我在教學中發現學生在立體幾何證明的過程中，常常出現以下兩種錯誤：一個是由于邏輯推理能力差而導致證題思路上的錯誤；另一個是由于語言表達能力差而導致證題的書寫上的錯誤，例如，對于蘇教版必修3課本中公理3的推論“經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面”，學生常常這樣證明：A是直線a外一點，在a上任取兩點B、C，則A、B、C三點不共線，根據公理3，經過不共線三點A、B、C有且僅有一個平面a，又點B、c都在平面a內，所以根據公理l，直線a在平面a內，即過直線a和點A有且只有一個平面，這樣證明是不全對的，證明過程中有這樣一個邏輯錯誤：即把過A、B、C三點的平面構成的集合與過直線a和點A的平面構成的集合先承認是兩個相等的集合，從而由第一個集合有且只有—個元素導出第二個集合有且只有一個元素，正確的邏輯推理應該是：先證明上面的第二個集合包含于第一個集合，從而由第一個集合有且只有一個元素導出第二個集合最多有一個元素；其次證明第二個集合確實有一個元素，最后得出第二個集合有且只有一個元素的結論。

由此不難看出要學好立體幾何，必須要注重邏輯推理能力的培養，為此，學生要重視看起來簡單的基本概念、公理和定理，不僅要理解它們，還要掌握它們之間的聯系。

三、合理利用“化歸”思想

要學好立體幾何，還要充分運用“化歸”的數學思想，要明確在轉化過程中什么變了，什么不變，有什么聯系，比如三垂線定理可以把平面內兩條直線垂直轉化為空間的兩條直線垂直，而三垂線逆定理可以把空間的兩條直線垂直轉化為平面內的兩條直線垂直，再比如異面直線的距離可以轉化為直線和與它平行的平面間的距離，也可以轉化為兩平行平面的距離，即異面直線的距離與線面距、面面距三者之間可互相轉化。

由于平面幾何是立體幾何的一部分，空間的點、線、面如果都在同一平面內，則平面幾何中的結論依然成立，反過來，平面幾何中的正確命題在立體幾何中是否依然正確呢?當然不一定正確，如有三個直角的平面四邊形一定是矩形，但有三直角的空間四邊形一定不是矩形，所以初學立體幾何的學生，要在學習過程中注意平面幾何與立體幾何的區別和聯系，掌握轉化的規律。

四、注意巧妙攻破學習上的“難關”

要學好立體幾何，還要能順利通過學習上的“難關”，比如求兩異面直線所成角的大小、求二面角的大小等，學生除要掌握一些常用方法外，還要學會一些特殊好用的方法，如向量法、構造三角形法，求二面角的三垂線法和面積法等。

五、善于總結規律

立體幾何解題過程中，常有明顯的規律性，例如：求角先定平面角，正余弦定理、三角定義常用，若是余弦值為負值，異面、線面取銳角；距離多是垂線段，放到三角形中去計算，常用正余弦定理、勾股定理，若是垂線難做出，用等積等高來轉換……不斷總結，才能不斷提高。

責任編輯 羅 峰