運動,解題的一條捷徑

同學們解幾何題經常“卡殼”的一個主要原因，就是習慣把問題的條件看作靜止的、固定的、不可變動的.其實，有些條件是靈活的，可以合并和拆分，可以移位和變動，可以轉換和等價替代，甚至可以類比和放縮.如果轉變一下看問題的角度，就會發現作輔助線是運動，分形、割補也是運動，圖形的平移、折疊、旋轉更是運動，一旦運動起來，那些題設條件便立即活潑、生動起來了.

下邊試以旋轉為例，略舉幾例:

例1求證:正方形的一個頂點與另一個大小相等的正方形的中心重合，當它繞這個重合點旋轉時，它們重疊部分的面積不變.

既然重疊面積不變，就容易聯想到旋轉中的一個特殊位置(如圖1)，而這個重疊面積的不變量應該是小正方形OABC的面積(定值)，進而想到去證△OAE ≌△OCF，問題迎刃而解.

例2一個半圓的圓弧外切于矩形ABCD的AD、DC、BC三邊(如圖2)，AD長10厘米，求圖中陰影部分的面積.

如果想到旋轉，解答將十分簡捷.將陰影的一部分——△EOC，繞O(矩形的對稱中心)旋轉180°至△FOA的位置，那么陰影的面積即為半圓的一半(就是扇形FAE)，很快算得所求面積為25π平方厘米.

例3如圖3，大圓的半徑為10，四個半徑相同的小圓都過大圓圓心，并與大圓相切.求圖中陰影部分面積.

如果將陰影1剖為相等的兩部分，然后分別繞點M旋轉，可補進2、3空白，如此4次剖開、補進，可知陰影部分的面積為S大圓

-S正方形ABCD= 100π-200.

例4正方形ABEF與正方形ACDH有一個公共頂點A(如圖4)，求證:S△ABC = S△AFH.

設兩正方形邊長分別是a、b，不難推得圖中∠α +∠β =180°.

如果聯想到“旋轉”，將△ABC按順時針方向旋轉90°到△AFC′的位置.

∵∠α +∠β =180°，∴H、A、C′在同一條直線上，則△AFC′與△AFH 等底同高，所以面積相等.得證.

例5如圖5，在直角△ABC中，有一個內接正方形AEFH.已知BF=8厘米，FC =6厘米，試求△BFE與△FHC面積之和.

如果被靜態思維所困，只能束手無策，然而將圖局部地動一動，比如說將△HFC繞點F旋轉90°至△EFC′的位置，那么點C必將落在AB(C′)上，這樣∠EFC′與∠BFE拼成直角，兩三角形拼成新的直角△BFC′，其面積為■×6×8=24 (cm2).

運動，是激活條件的重要途徑，也是數學發現的重要源泉.一旦動起來，解題會更便捷.看來，運動是數學的生命，數學的靈魂.