從中考數學看填空題的解法

填空題是只要求寫出結果，不要求寫出解答過程的客觀性試題.填空題考查目標集中，形式靈活，答案簡短明確，評分客觀公正，是中考數學中的三種常考題型之一.

一、中考填空題的主要特點

填空題大多能在課本中找到原形或背景，通常可以化歸為我們熟知的題目或基本題型.從難度來看，填空題在中考中多屬中、低檔題，概念性強，知識點跨度大，有些填空題具有創新性，以能力立意，重視知識的發生發展過程，突出理性思維，有些填空題重視考查知識形成過程的思想和方法，在知識網絡的交匯點設計問題. 從題型來看，填空題分為定量型和定性型兩種，前者主要考查計算能力，同時也考查同學們對題目中所涉及的數學公式掌握的熟練程度;后者考查了同學們對重要的概念、定理和性質等數學基礎知識的理解和運用的程度.

填空題的解答要求是:①所填結果要完整，限制條件不可缺;②計算型填空題要運算到底，結果要規范;③填空題所填結論要符合初中數學課標要求.

二、填空題的常用題型

下面對部分地區中考數學填空題加以分析，幫助同學們歸納中考填空題的常見題型及常用解法.

1.計算型

這類填空題主要考查同學們對基本概念、法則、定理等的理解及運算能力，分為幾何計算和代數計算兩種.計算型填空題在計算的過程中，要講究技巧與方法，在推理的過程中，要注重定義、定理、規律的運用，其常用方法是直接法，即根據題干所給條件，直接經過計算、推理，得出正確答案.

例1(2009年齊齊哈爾市)已知相交兩圓的半徑分別為5cm和4cm，公共弦長為6cm，則這兩個圓的圓心距是 .

解析:由于題目沒有指明兩圓的圓心與公共弦的位置關系，故要分兩圓的圓心在公共弦的同側和兩圓的圓心在公共弦的異側兩種情況來討論.

解答過程略，答案為(4±■)cm.

評注:(1)在解答的過程中，可以跳過一些不必要的步驟，盡量采用心算的辦法，快速求出問題的答案.(2)運用直接法時要注意避免一些不必要的錯誤.這是一道比較基礎卻很典型的分類討論型計算題，關鍵是要注意兩圓的圓心與公共弦的位置關系.幾何計算題歷年來都是中考的熱點問題.幾何計算是以推理為基礎的幾何量的計算，主要有線段與弧的長度計算、角和弧的度數計算、三角函數值的計算、線段比值的計算以及面積、體積的計算.從圖形上分類可分為三角形、四邊形、多邊形以及圓的有關計算等幾類.解幾何計算題的常用方法有:幾何法、代數法、三角法等.

2.概念型

有諸多填空題，涉及一些重要的數學定義、公理、定理、性質或一些似是而非、容易混淆的概念和性質，借此考查考生掌握概念的程度.這就需要考生在審題時，應特別注意辨析有關概念的本質特性，從而保證所填答案的正確性.一般說來，這類題目運算量小，側重判斷.常用的方法有:直接法、驗證法等.

例2(2009年武漢市)如圖，直線y=■x與雙曲線y=■(x>0)交于點A.將直線y=■x向右平移■個單位后，與雙曲線y=■(x>0)交于點B，與x軸交于點C，若■=2，則k=.

解析:由y=■x向右平移■個單位可知，C(■，0).分別過點A、B作AD⊥x軸，BE⊥x軸，垂足分別為D、E.設OD=a，把x=a代入y=■x，可得y=■a，所以A(a，■a)，故k=■a2.由題知，△AOD∽△BCE，可得■=■=■=■，所以BE=■AD=■a，CE=■OD=■a，可知OE=■+■a，則B(■+■a，■a)，所以k

=(■+■a)·■a，即■a2=(■+■a)·■a，解得a=0(舍去)，或a=3.所以k=■a2=12.

評注:概念型試題雖然涉及的知識單一，但對數學定義、公理、定理、性質的考查要求相對較高.一些基礎不扎實的學生，會感到加大了問題的難度，從而造成失分現象.有的同學不知道把y=■x向右平移■個單位有何用意，不知道如何表達點A與B的坐標.為避免這類錯誤，這就要求同學們在平時的學習中，澄清一些似是而非的認識，理解概念之間的聯系與區別.

3.應用型

這類試題在解答時，首先要求同學們在認真閱讀材料、理解題意的基礎上，將實際問題經過抽象概括，利用數學知識建立相應的數學模型，再利用數學知識對數學模型進行分析、研究，從而得出結論.

例3(2009年陜西省)一家商店將某種商品按成本價提高50%后，標價為450元，又以8折出售，則售出這件商品可獲利潤元.

解析:本題屬方程類中的增長、降低問題.方程(組)是研究現實世界等量關系的最基本的數學模型，求解此類問題的關鍵是:針對給出的實際問題，設定合適的未知數，找出相等關系，進而解決問題.解此類問題，要注意驗證結果是否適合實際問題.

通過分析知，所謂利潤就是售出價減去成本價.問題中已知標價為450元，又以8折出售，可求得售出價為450×0.8=360(元)，所以只需求出成本價即可.可設該商品成本價為x元，則可列出方程(1+50%)x=450.解得x=300，故可求出這件商品的利潤為360-300=60(元).

例4(2009年益陽市)“五一”節，益陽市某超市開展“有獎促銷”活動，凡購物不少于30元的顧客均有一次轉動轉盤的機會(如圖，轉盤被分為8個全等的小扇形).當指針最終指向數字8時，該顧客獲一等獎;當指針最終指向2或5時，該顧客獲二等獎;若指針指向分界線則重轉. 經統計，當天發放一、二等獎獎品共600份，那么據此估計參與此次活動的顧客為人次.

解析:由問題知一個圓形轉盤被等分成八個扇形區域，故指針指在每一個區域的可能性相等.由于指針指在獲獎的區域為數字8、2、5的可能性有3種，所有可能有8種，所以P(發放一、二等獎)=■，故估計參與此次活動的顧客為600÷■=1600(人).

評注:在近幾年的中考中加強了對應用問題的考查，且試題多有創新，以檢測同學們運用所學知識解決實際問題的能力，使大家體會到數學的“有用性”.試題的背景有貼近實際的市場經濟問題和具有發展性、前瞻性的數據的統計與概率等.統計與概率考查的知識點較多，包括反映離散程度的統計量，補充、繪制統計圖表，數據處理的基本方法和基本技能，頻率與概率的理解和應用等.同學們在重溫這類題的解答過程時，不僅要梳理統計知識，還要能夠掌握統計方法.

4.幾何折疊型

折疊型問題常要求結合平移、軸對稱、三角形相似(全等)、勾股定理、方程、函數等知識進行綜合應用，解這類題需要具備扎實的數學基本功、較強的觀察力、豐富的想象力及綜合分析問題的能力，解題時要注意運動過程中的特殊位置，抓住圖形旋轉前后哪些是不變的量、哪些是變化的量.

例7(2009年河南省)動手操作:在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5.如圖所示，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當點A′在BC邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動.若限定點P、Q分別在AB、AD邊上移動，則點A′在BC邊上可移動的最大距離為 .

解析:折疊的實質就是軸對稱，本題只要能夠抓住軸對稱的有關性質，尋找到折疊前后的不變量即可解.由題知，當點Q與點D重合時(如圖)，點A′離點B最近，此時，A′D=AD=5，在Rt△A′CD中運用勾股定理，可得A′C=■=4，從而可求得BA′=BC-A′C=5-4=1;當點P與點B重合時，點A′離點B最遠，此時BA′=BA=3，則點A′在BC邊上可移動的最大距離為3-1=2.

評注:本題利用圖形翻折的不變性，探索圖形在翻折過程中的有關規律，問題的實質是考查軸對稱的知識、勾股定理的運用，以及點A在BC上運動的范圍.這類試題在近幾年中考中不斷出現，在圖形的變化之中蘊涵了從特殊到一般的探究思想，旨在考查創新意識和探究能力.

三、填空題的常用解法

1.構造法

構造法就是根據題設和結論所具有的性質特征構造出滿足條件和結論的數學模型，再借助于數學模型來解決數學問題的一種方法.這種借用一類問題的性質來研究另一類問題的思維方法在解數學問題時常常能起到意想不到的效果.

例8(2009年遼寧朝陽市)如圖，AC是汽車擋風玻璃前的刮雨刷.如果AO=65cm，CO=15cm，當AC繞點O旋轉90°時，則刮雨刷AC掃過的面積為cm2.

解析:本題可這樣構造:將△A′OC′以點O為中心逆時針旋轉90°，則與△AOC重合.故圖中陰影部分面積應等于扇形AOA′與扇形COC′的面積差.由于S扇形AOA′=■，S扇形COC′=■，所以刮雨刷AC掃過的面積為S扇形AOA′-S扇形COC′=■-■=1000π(cm2).

評注:解題時的聯想，就是從一個數學問題想到另一個數學問題的心理活動，它是構造的基石.構造法作為一種數學方法，屬于非常規思維，它帶有試探性和創造性.用構造法解題，見解獨到，不循常規，值得同學們在平時的學習中潛心挖掘和大膽嘗試.

2.轉化法

所謂轉化是指通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，借助某些性質、公式或已知條件將問題通過變換加以轉化，或運用恰當的數學方法加以變換.轉化的目的是要達到將復雜轉化為簡單，將未知轉化為已知，將抽象轉化為具體.轉化的關鍵在于觀察，通過觀察題目中數、式的變化規律，條件與結論之間的關系，題目的結構特點及圖形的特征，發現題目中特定的數量關系或變化特征，選出正確的解答方法.

例9(2009年蘭州市)閱讀材料:設一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1，x2，則兩根與方程系數之間有如下關系:x1+x2=-■，x1·x2=■.根據該材料填空:已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的兩實數根，則■+■的值為 .

解析:■+■可通分變為■，從而本題轉化為求兩根的平方和及兩根的積.

分析閱讀材料可知，x1+x2=-6，x1·x2=3.

所以■+■=■=■=■=10.

評注:(1)正確的轉化方法是解決此類問題的關鍵.許多同學卻先解方程x2+6x+3=0，求得x1和x2的值，然后將值代入■+■求得結果為10，這樣做計算量大，浪費了寶貴的考試時間，還有一些同學由于x1和x2的值求錯，浪費了很長時間，卻計算了一個錯誤結果.(2)觀察是基礎，是發現問題、解決問題的首要步驟.運用轉化法時一定要對問題進行認真觀察、思考，有時根據需要，還要建立數學模型，確定如何進行轉化.例如本題采用整體代入法，就是通過觀察題目中數、式的變化規律，發現題設中的某些部分可以作為一個整體，采用換元或代入的方法解決，從而使問題得到簡化.

3.特例法

所謂特例法就是利用符合題設條件的某個特殊圖形(數值)代替有關的一般圖形(式子)，進行演繹推理，以達到解決問題的目的.特例法的關鍵在于尋找特例，即尋找的特殊圖形(數值)必須符合題設的要求，又有利于對問題的分析和解決.其優點是利用簡單、特殊的圖形(數值)，減少了繁雜的計算和推理;缺點是可能會取得不符合題目要求的圖形(數值)，從而導致錯誤的結論.

例10 (2008年濟南市)如圖:等腰直角△ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角頂點A在直線y=x上，其中A點的橫坐標為1，且兩條直角邊AB、AC分別平行于x軸、y軸，若雙曲線y=■(k≠0)與△ABC有交點，則k的取值范圍是.

A.1

C.1≤k≤4D.1≤k<4

解析:根據題目條件可求出A(1，1)，B(3，1)，C(1，3)，本題若用直接法求k的取值范圍，要分雙曲線與邊AB、AC、BC有交點三種情況來計算，計算量比較大，但特例法能較好地解決這一問題.我們取雙曲線與邊AB、AC、BC有交點的特殊情況來計算:當雙曲線過點A時，可計算出k=1，當雙曲線同時過點B、C時，可計算出k=3.但此時，我們發現從k=1到k=3，雙曲線向右移動的過程中k在逐步增大，但始終沒有與邊BC相交.我們要再取特殊點，由于直線y=x與BC的交點坐標易看出為(2，2)，而雙曲線過此點時，可算出k=4，故1≤k≤4.

評注:(1)利用特例法解答填空題，不僅可以選用特別的數值代入原題，使原題得以解決，而且可以作出符合條件的特殊圖形來進行計算或推理，特別是對一些難度較大的題，會有很好的解題效果.這種解法充分體現了“特殊與一般”的轉化關系.此類問題通常具有一個共性:題干中給出一些一般性的條件，而要求得出某些特定的結論或數值.在解決這類問題時可將問題提供的條件特殊化，這些特殊圖形或問題的答案往往就是原題的答案.(2)需要提醒同學們兩點:①不是所有的填空題都可采用特例法，所以一定要認真審題，要根據題目的特點決定能否采用特例法;②采用特例法，設特殊的值或特殊的點時，一定要在允許的范圍內.

以上列舉了中考填空題的幾種常見類型和解法.填空題還有其他一些類型，比如操作型、信息遷移型、開放型、說理型、多選型、組合型、探究型、學科滲透型等，盡管類型不少，但在解題過程中，很多辦法是相通的.有的填空題只能用一種方法來解，有的填空題可用幾種方法來解決，這些都需要同學們在復習中不斷總結，提高自己的解題能力.