談談“作圖題”

作圖是學習幾何必須具備的一種基本能力， 尺規(guī)作圖是幾何作圖的一種基本方法.現(xiàn)從以下五個方面來進行探討.

一、對于基本作圖，不僅要會畫，還要理解畫法的依據(jù)

例1(2006年宿遷市中考試題)用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖如下，則說明∠A′O′B′=∠AOB的依據(jù)是().

A.(SSS)B.(SAS)C.(ASA)D.(AAS)

解析:用圓規(guī)截取得O′C′=OC，D′點是兩條圓弧的交點，半徑分別是OD、CD，說明O′D′=OD，C′D′=CD.因此△OCD和△O′C′D′全等的依據(jù)是(S.S.S.)，由三角形全等，導出∠A′O′B′=∠AOB.故選A.

二、學會將一個作圖題分解為基本作圖題

例2(2005年蘇州市中考試題)如圖②，直角坐標系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A、B、C，其中B點坐標為(4，4)，則該圓弧所在圓的圓心坐標為.

解析:圓心到A、B兩點距離相等，那么圓心在AB的垂直平分線上，同理圓心又在BC的垂直平分線上，圓心就是兩條垂直平分線的交點.因此只要作兩次垂直平分線，問題就能解決.

由于題中提供了方格紙，結(jié)合點A、B、C的特殊位置，只用直尺就能畫出線段AB、BC的垂直平分線(見圖中虛線)，得圓心坐標(2，0).

例3(2005年蘇州市中考試題)如圖③，平行四邊形紙條ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點，張老師請同學們將紙條的下半部分?荀ABFE沿EF翻折，得到一個V字形圖案.請你在原圖中畫出翻折后的圖形?荀A′B′FE.(用尺規(guī)作圖，不寫畫法，保留作圖痕跡)

解析:由翻折知?荀ABFE和?荀A′B′FE關于直線EF對稱.要畫出?荀A′B′FE，只要確定點A′和B′.作∠EFB′=∠EFB，截取FB′=FB.找對稱點B′點就轉(zhuǎn)化為上述兩個基本作圖題.A′點類同.

B點的對稱點B′也可這樣來作:過B作EF的垂線，垂足為H;截取HB′=HB.B′的作法也轉(zhuǎn)化為兩個基本作圖題.(請你動手畫一畫)

三、畫弧的重要作用

在尺規(guī)作圖中，直尺的用途就是連線，即過兩點作直線、射線或線段.圓規(guī)的功能就是畫圓弧，弧上的點到圓心的距離都等于定長(半徑).

例4(2008年無錫市中考試題)已知一個三角形的兩條邊長分別是1cm和2cm，一個內(nèi)角為40°.(1)請你借助圖④畫出一個滿足題設條件的三角形;(2)你是否還能畫出既滿足題設條件，又與(1)中所畫的三角形不全等的三角形?若能，請你用“尺規(guī)作圖”作出所有這樣的三角形;若不能，請說明理由;(3)如果將題設條件改為“三角形的兩條邊長分別是3cm和4cm，一個內(nèi)角為40°”，那么滿足這一條件，且彼此不全等的三角形共有個.

解析:如圖④，兩邊夾角，得滿足題設條件的三角形.由于題中來指明兩條邊是40°角的兩邊，就可能產(chǎn)生其中一邊是40°角的對邊的情形.有兩種可能:(1)2cm是對邊的長，如圖⑤;(2)1cm為對邊的長，因為垂線段長為2sin40°>2sin30°=1，無解，如圖⑥.

將邊長改為3cm和4cm后，當對邊長為3cm時，有兩解，如圖⑦，其余兩種情況類似，符合題意的三角形共有4個.

四、作圖題也要進行“分析”

作圖題和計算題、證明題一樣，在解題中也需要進行分析.已知條件告訴了我們什么?要求作的圖形等價于要作出什么?有時這樣的分析要多次進行.

例5(2007年江西省中考試題)如圖⑧，已知∠AOB，OA=OB，點E在OB邊上，四邊形AEBF是矩形，請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線(請保留畫圖痕跡).

解析:解決本題的關鍵在于找到∠AOB的平分線上的一個點.已知條件告訴我們OA=OB，說明△AOB是等腰三角形.由于等腰三角形三線合一，因此只要找到AB的中點.已知條件又告訴我們四邊形AEBF為矩形，AB是矩形的一條對角線，由于矩形對角線互相平分，所以AB的中點就是矩形對角線的交點.為此，連接AB、EF，交點為C，射線OC就是∠AOB的平分線.

五、借助作圖，拓寬解題思路

例6在方格紙上，每個小格的頂點叫格點，以格點為頂點的三角形叫格點三角形.如圖⑨，在方格紙上，以AB為邊的格點三角形ABC是等腰三角形，則符合條件的C點共有個.

解析:以A為頂點的頂點:以A為圓心，AB長為半徑，畫弧，與圖中格點的交點有6個，能構(gòu)成等腰三角形的有4個;以B為頂角的頂點，類似，有1個符合條件;以AB為底邊，作AB的垂直平分線，與格點無交點.綜上，符合條件的C點共有5個.

例7(2008年海南省初中數(shù)學競賽題)在平面直角坐標系xoy內(nèi)，已知點A(3，-3)，P是y軸上一點，則使△AOP為等腰三角形的點P共有個.

答案:4.

同學們，你們答對了嗎?