注重逆向思維訓練 提高學生數學能力

傳統的教學模式和現行數學教材往往注重正向思維，而淡化逆向思維能力的培養，造成思維過程中的單向思維定勢，解題方法中的刻板與僵化，阻礙學生創造性思維的發展。然而數學知識本身充滿著對立統一的轉化規律，如相等與不等、運算與逆運算、原命題與逆命題、函數與反函數、互斥事件的概率等。因此，在課堂教學中培養學生正向思維的同時，必須加強逆向思維的訓練，培養學生思維的靈活性、深刻性和雙向性，達到優化學生思維品質、提高分析問題和解決問題的能力和創造能力。

一、在知識建構的過程中培養學生的逆向思維能力

要使學生學好基礎知識和掌握基本技能，首先要使學生正確理解數學概念、公式、定理、法則等。學生在數學學習的思維過程中，習慣正向思維，而忽視逆向思維的運用，造成知識上的缺漏和片面性、思維單一、解題方法呆板。因此，課堂教學不僅要進行“由此及彼”的正向訓練，還需加強“由彼及此”的逆向思維訓練，培養學生思維的靈活性、雙向性和解題的簡捷性。

1. 定義逆向應用的訓練

數學中的定義都具有“可逆性”，作為定義的命題都可以當作性質使用，其逆命題總是成立的(這一點可以用反證法來證明)，所以，我們應用定義的逆向性去解題，往往可使學生深刻理解概念，融會貫通。

2. 定理逆向思考的訓練

教學中引導學生探索一些定理的逆命題是否正確，能幫助學生加深理解和記憶所學的新知識，而且能激發學生的學習興趣和探索精神。

例1. 設在平面直角坐標系的兩直線方程的一般式分別是:l1:A1x+b1y+c1=0(A2+B2≠0)和l2:A2x+b2y+c2=0師生:若A1B2-A2B1=0?圯A1B2=A2B1?圯K1=K2?圯“l1∥l2”或“l1與l2重合”，因此，A1B2-A2B1=0是l1∥l2的必要條件而非充要條件，若用此法判定兩直線是否平行時，需要驗證是否重合的情況。

通過這樣質疑引導學生思考，既能激發學生的求知欲，又能使學生在輕松愉快的氛圍中掌握知識的本質屬性，更能培養學生嚴密的邏輯思維和逆向思維。

3. 公式逆向運用的訓練

當人們解決某些問題，若順向思維處于“山重水復疑無路”的困境時，逆向思維往往可使問題的解決呈現“柳暗花明又一村”的景象。數學公式的雙向性，使得解題靈活、簡捷。因此，在數學教學中，教師應時刻注意啟發學生對數學知識的逆向使用，把一些常見的逆向思維的技巧用于解題中，讓學生感受到逆向思維的效力。不僅可以深化對基礎知識的理解，同時可以拓寬解題思路，培養學生的創造能力和靈活應變能力。

分析:乍見此題，多數同學一籌莫展，構成一定心理障礙。細心觀察所求的式子，要么通過解方程求x，y——有難度;要么求得關于x，y的齊一次二項式。如何求得?由已知條件特征:同底數對數之和，問題漸趨明朗，聯想積的對數性質的逆向變形，則眼前豁然開朗，通過因式分解，問題就迎刃而解。

解:lg(x+2y)+lg(x-y)=lg2+lg x+lg y ?圯 lg[(x+2y)(x-y)]=lg(2xy)?圯(x+2y)(x-y) =2xy?圯4. 加強互逆、互否、互為逆否關系命題的訓練(略)

二、在解題教學中注重培養學生的逆向思維

在解題教學中，教師要善于在無疑處巧設疑，引導學生學會尋找條件，運用條件，在思維過程受阻時，鼓勵和引導學生重新審視數學問題所涉及的知識進行多角度的分析研究，適時架起已知與未知之間的必要聯系，幫助學生尋找問題的突破點，使學生漸漸養成多向思考問題的習慣。

1. 抓住本質，逆否轉化

解決數學問題過程中有時從正面思考會陷入困境，甚至無法解決，這時不妨反其道而行之，從它的反面尋找解決問題的突破口，往往能巧妙簡捷地解決問題。

例3. 已知三條拋物線y1=x2+2ax+a2-a+3，y2=2x2-(4a-2)x+2a2-a，y3=x2-(2a+1)x+a2+2中至少有一條與x軸相交，求實數a的取值范圍。

分析:“至少有一條與x軸相交”包括七種情況，若從正面著手，分類討論則不勝其煩，如果注意到“至少有一條與x軸相交”的反面“三條都與x軸不相交”的是等價的，而“三條都與x軸不相交”簡單明了，因此僅需求“三條都與x軸不相交”的實數a的范圍的反面即可，可避免煩瑣的分類討論。

解(略)。

2. 變換視角，反客為主

在解決含有多變量的問題時，因受思維定勢影響，常被題目中給定的“常量”與“變量”所迷惑，陷入“思路通、運算難”的困境而不能自拔。不妨退一步考慮問題，抓住問題的本質——常量與變量的相對性，反客為主，往往能走出思維的迷宮，簡化解題過程。

例4. 對于滿足0≤p≤4的一切實數，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，試求x的取值范圍。

分析:習慣把x看作未知數，不等式x2+px>4x+p-3是含參數p的關于x的二次不等式，直接解比較難，難就難在含參數p的x的二次不等式。若把p看作變量，把x看作常數，則不等式x2+px>4x+p-3豈不就是關于P的一次不等式嗎?再由一次不等式的解集與函數的關系，把問題轉化為一次函數求解。

解:將原不等式變形得:(x-1)p+(x2-4x+3)>0，設函數f(p)=(x-1)p+(x2-4x+3)，顯然x≠1，則f(p)是關于p的一次函數，若不等式(x-1)p+(x2-4x+3)>0在0≤p≤4恒成立，當且僅當f(0)>0且f(4)>0，于是有f(0)=x2-4x+3>0f(4)=x2-1>0解得x<-1或x>3

3. 執果索因，逆向分析

許多學生在解題過程中，習慣于從條件到結論的單一思維形式。事實上，有些問題，若從條件出發順向推求思路不太暢順、或求解過程比較難，相反，由結論到條件的逆向分析、推導，可使問題峰回路轉。教學中，教師創設應用逆向分析的教學平臺，啟發學生思考，鼓勵學生勇于打破常規、敢于標新立異，善于轉換思維方式，培養學生靈活應變能力和發散思維。

例5. 將函數y=f(x)的圖像向左平移1個單位，得圖像f1(x)，再作f1(x)關于直線y=x的對稱圖像f2(x)，最后將f2(x)的圖像向下平移1個單位得f3(x)=log2(x+1)的圖像，求函數y=f(x)的解析式。

分析:根據條件和結論的邏輯關系，題目是求，使結論成立的充分條件，由于第三步變換結果是已知的，將題設的變換來個“反變換”，問題可迎刃而解。

解:f3(x)=log2(x+1)向上平移1個單位 f2(x)=log2(x+1)+1=log2(x+1)+log22=log22(x+1)作關于直1-1=2x-2-1

逆向思維屬于發散思維的重要組成部分，是數學學習中的重要思維形式，而發散思維不受傳統的約束，是一種沿著不同的方向(當然包括逆向)去析取和重組信息、從多方面(也包括反面)尋求最佳解題途徑的思維方式。因此，需要教師將逆向思維能力的培養有機地滲透在數學教學的各個環節，結合實例進行深入淺出的示范，注重引導學生認識知識間的可逆性，并為他們發現疑難、解決問題提供必要的橋梁和階梯，鼓勵學生善于打破常規、敢于標新立異，讓學生潛移默化地將數學思想方法融入到學習過程中，養成自覺考慮、運用逆向思維去思考問題的習慣，優化思維品質，提高分析問題和解決問題的能力。

責任編輯鄒韻文