加強函數圖像教學,銜接初高中數學教學

妥善處理初高中數學教學的銜接與過渡，是每一位高中數學教師必須探討和解決的問題.筆者在執(zhí)教高一數學的過程中，以函數圖像教學作為突破口，較好地幫助高一的新生闖開了高中數學難學的瓶頸，增強了他們學好高中數學的自信心和成就感，取得了預期的教學效果.

一、突出基本函數模型的認識

函數圖像的教學實質是用代數的語言揭示幾何要素及其關系，同時將幾何問題轉化為代數問題.在高一的函數教學中，要不斷幫助學生歸納初等函數的各種圖形，并且教會學生快速畫出初等函數的圖形，提高學生對圖形世界的直觀感知.右表是初等函數的圖像畫法的歸納表。

教師在教學中要有意識地引導學生歸納出右表，具體的初等函數的圖像特征和畫法可讓學生自己決定.

二、加強函數概念建構教學

數學課堂的實踐表明，與學習領域內一些日常活動和實踐相貼近的教學任務，整合了生活的、真實的、復雜的多重的內容和技能后，有助于學生用真實的方式來應用所學的知識，同時也有助于學生意識到他們所學知識的相關性和意義.這樣一種教學活動的組織，能在課堂上迅速激發(fā)學生的濃厚興趣，吸引學生更加主動地投入學習，為課堂教學取得良好效果奠定基礎.因而教師教學上要考慮為抽象的數學概念提供具體的模型，幫助學生掌握抽象的概念的性質和特點.學習不是簡單的信息積累，更重要的是包含新舊知識經驗的沖突，以及由此而引發(fā)的認知結構的重組.學習過程不是簡單的信息輸入、存儲和提取，是新舊知識經驗之間的雙向相互作用過程，也就是學習者與學習環(huán)境之間互動的過程.教師在教學中就要注意把握知識的內在聯(lián)系，拓展學生的認知結構.要使學生能夠融會貫通的掌握新知識，就要結合學生原有的經驗體系來學習探索新知識.只有抓住新舊知識的內在聯(lián)系進行有機連結，才能使學生從整體上把握知識的來龍去脈或縱橫聯(lián)系，達到理解和掌握新知.

1. 函數的概念

中學階段函數的概念，從初中“在某一變化過程中，對于兩個變量x、y，在一定范圍內的每一個確定的x的值都有唯一的一個y的值與之對應，則稱y是x的函數，x叫自變量，y叫因變量”的變量說，發(fā)展到高中“設A，B是兩個非空的數集，如果按某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應，這樣的對應叫做從A到B的一個函數 記作:y=f(x)，x∈A”的對應說，體現了數學概念的發(fā)展，教學上通過設置教學情景，通過函數的圖像，實現函數概念的變量說到對應說的過渡.

【案例1】著名球星姚明的年齡和身高的關系圖:

教學環(huán)節(jié)—:復習以姚明的年齡為自變量x，以姚明的身高為函數y的“變量說”的函數概念.

教學環(huán)節(jié)二: 將圖表的表現形式解讀為對應形式，突出姚明的年齡和身高存在某種確定的關系.這種關系確定而不能用解析式表達出來，對應關系表達符號f的引入水到渠成.由此，借助姚明的年齡和身高作為背景，定義域和值域也可得到清晰的理解.

2. 函數的圖像和性質

初中教材給予“函數性質”生動的解讀，例如初中教材中對一次函數的性質是這樣解釋的:(1)當k>0時，y 隨x的增大而增大，這時函數的圖像從左到右上升;(2)當k< 0時，y 隨x的增大而減小，這時函數的圖像從左到右下降. 敘述方法比較簡單，語言通俗易懂，直觀性、趣味性強，結論容易記憶，學生掌握得也比較好.而高中教材有關函數的單調性的敘述為:“ 一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，區(qū)間D?哿I:如果對于區(qū)間D內的任意兩個值x1，x2，當x1f(x2 )，那么就說在這個區(qū)間I上是減函數.D稱為y=f(x)的單調遞減區(qū)間.如果函數y=f(x)在區(qū)間I上是單調增函數或是單調減函數，那么就說函數y=f(x)在區(qū)間I上具有單調性.”語言比較嚴謹、規(guī)范，抽象思維明顯提高，知識難度跨度大.因此，可把高中教材初中化，創(chuàng)造良好的學習情景，逐步促進學生認知水平的提升.我們再次利用案例1，設計問題:(1)姚明的身高隨年齡的增加而增高嗎?(2)數學上如何表示年齡的增加和身高的增高?設計問題的意圖是關注概念的發(fā)展過程，由感性到理性進行了鋪墊.

三、加強一次、二次函數的再教學

一次、二次函數貫穿整個中學階段，筆者對兩種函數的初高中教學要求進行比較，制作出表格讓學生熟悉它們之間的異同與特點.一次函數在初中的教學中是重點內容，高中的應用多體現在圖像的應用方面，快速畫出趨勢圖形是直線方程的教學目標.一次函數的圖像在線性規(guī)劃的應用，再次體現圖像教學的優(yōu)越性.二元一次不等式 ( 組)表示平面區(qū)域是簡單的線性規(guī)劃問題的基礎，通常是直線定界，特殊點定域，其實只需將直線的一般形式改寫為直線的斜截式(一次函數的圖像)，就可以減少特殊點定域的麻煩.因為不等式y(tǒng)kx+b表示的平面區(qū)域在直線y=kx+b的上方. 例如:畫出不等式2x-y+6>0所表示的平面區(qū)域.不等式2x-y+6>0等價變化為y<2x+6，不等式2x-y+6>0所表示的平面區(qū)域在直線y=2x+6的下方.只需直線的斜截式方程定界，大于在上方區(qū)域，小于下方區(qū)域.

二次函數、一元二次方程和一元二次不等式之間的聯(lián)系問題(三個二次之間的聯(lián)系問題)，高中教師的教學特別注意每一屆初中教材中二次方程和二次函數的教材處理的情況. 現階段初中教材中二次方程求根的方法，只強調求根公式，基本不講利用十字相乘因式分解求根.進入高中后對于“解一元二次不等式”的學習，學生不習慣用因式分解求根，大多用求根公式求(套公式)，教師需要及時補充十字相乘因式分解的求根方法.

函數的應用反映在兩個方面:1. 用函數解決現實生活中一些簡單問題;2.用函數思想討論其他的數學問題.函數的應用貫穿整個中學階段的.

初中的教學趨向函數應用的第一方面，用函數思想討論其他的數學問題則滲透在高中的教學中.實現初高中的平穩(wěn)過渡，能提高學生的思維能力.作為函數的幾何特征——函數圖像，在教學中發(fā)揮了重要的作用.

【案例2】(《必修1》P95例1)假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案回報如下:

方案一:每天回報40元;

方案二:第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元;

方案三:第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番.

(1)請你分析比較三種方案每天回報的大小情況.

思考:各種方案每天回報的變化情況可用什么數量關系表示?你能夠利用所學函數知識描述這些數量關系嗎?

(2)你會選擇哪種投資方案?

思考:選擇投資方案的依據是什么?

上面兩個案例作為教學過程中的例題，十分貼近學生的生活.通過將實際問題轉化為數學問題，培養(yǎng)學生應用意識和建模能力;同時通過文字語言、圖形語言和符號語言的轉化，培養(yǎng)學生處理分析數據以及圖利判斷能力.

責任編輯羅峰