加強函數(shù)圖像教學(xué),銜接初高中數(shù)學(xué)教學(xué)

妥善處理初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接與過渡，是每一位高中數(shù)學(xué)教師必須探討和解決的問題.筆者在執(zhí)教高一數(shù)學(xué)的過程中，以函數(shù)圖像教學(xué)作為突破口，較好地幫助高一的新生闖開了高中數(shù)學(xué)難學(xué)的瓶頸，增強了他們學(xué)好高中數(shù)學(xué)的自信心和成就感，取得了預(yù)期的教學(xué)效果.

一、突出基本函數(shù)模型的認(rèn)識

函數(shù)圖像的教學(xué)實質(zhì)是用代數(shù)的語言揭示幾何要素及其關(guān)系，同時將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.在高一的函數(shù)教學(xué)中，要不斷幫助學(xué)生歸納初等函數(shù)的各種圖形，并且教會學(xué)生快速畫出初等函數(shù)的圖形，提高學(xué)生對圖形世界的直觀感知.右表是初等函數(shù)的圖像畫法的歸納表。

教師在教學(xué)中要有意識地引導(dǎo)學(xué)生歸納出右表，具體的初等函數(shù)的圖像特征和畫法可讓學(xué)生自己決定.

二、加強函數(shù)概念建構(gòu)教學(xué)

數(shù)學(xué)課堂的實踐表明，與學(xué)習(xí)領(lǐng)域內(nèi)一些日常活動和實踐相貼近的教學(xué)任務(wù)，整合了生活的、真實的、復(fù)雜的多重的內(nèi)容和技能后，有助于學(xué)生用真實的方式來應(yīng)用所學(xué)的知識，同時也有助于學(xué)生意識到他們所學(xué)知識的相關(guān)性和意義.這樣一種教學(xué)活動的組織，能在課堂上迅速激發(fā)學(xué)生的濃厚興趣，吸引學(xué)生更加主動地投入學(xué)習(xí)，為課堂教學(xué)取得良好效果奠定基礎(chǔ).因而教師教學(xué)上要考慮為抽象的數(shù)學(xué)概念提供具體的模型，幫助學(xué)生掌握抽象的概念的性質(zhì)和特點.學(xué)習(xí)不是簡單的信息積累，更重要的是包含新舊知識經(jīng)驗的沖突，以及由此而引發(fā)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組.學(xué)習(xí)過程不是簡單的信息輸入、存儲和提取，是新舊知識經(jīng)驗之間的雙向相互作用過程，也就是學(xué)習(xí)者與學(xué)習(xí)環(huán)境之間互動的過程.教師在教學(xué)中就要注意把握知識的內(nèi)在聯(lián)系，拓展學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).要使學(xué)生能夠融會貫通的掌握新知識，就要結(jié)合學(xué)生原有的經(jīng)驗體系來學(xué)習(xí)探索新知識.只有抓住新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行有機連結(jié)，才能使學(xué)生從整體上把握知識的來龍去脈或縱橫聯(lián)系，達(dá)到理解和掌握新知.

1. 函數(shù)的概念

中學(xué)階段函數(shù)的概念，從初中“在某一變化過程中，對于兩個變量x、y，在一定范圍內(nèi)的每一個確定的x的值都有唯一的一個y的值與之對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，x叫自變量，y叫因變量”的變量說，發(fā)展到高中“設(shè)A，B是兩個非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個函數(shù) 記作:y=f(x)，x∈A”的對應(yīng)說，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念的發(fā)展，教學(xué)上通過設(shè)置教學(xué)情景，通過函數(shù)的圖像，實現(xiàn)函數(shù)概念的變量說到對應(yīng)說的過渡.

【案例1】著名球星姚明的年齡和身高的關(guān)系圖:

教學(xué)環(huán)節(jié)—:復(fù)習(xí)以姚明的年齡為自變量x，以姚明的身高為函數(shù)y的“變量說”的函數(shù)概念.

教學(xué)環(huán)節(jié)二: 將圖表的表現(xiàn)形式解讀為對應(yīng)形式，突出姚明的年齡和身高存在某種確定的關(guān)系.這種關(guān)系確定而不能用解析式表達(dá)出來，對應(yīng)關(guān)系表達(dá)符號f的引入水到渠成.由此，借助姚明的年齡和身高作為背景，定義域和值域也可得到清晰的理解.

2. 函數(shù)的圖像和性質(zhì)

初中教材給予“函數(shù)性質(zhì)”生動的解讀，例如初中教材中對一次函數(shù)的性質(zhì)是這樣解釋的:(1)當(dāng)k>0時，y 隨x的增大而增大，這時函數(shù)的圖像從左到右上升;(2)當(dāng)k< 0時，y 隨x的增大而減小，這時函數(shù)的圖像從左到右下降. 敘述方法比較簡單，語言通俗易懂，直觀性、趣味性強，結(jié)論容易記憶，學(xué)生掌握得也比較好.而高中教材有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性的敘述為:“ 一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，區(qū)間D?哿I:如果對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個值x1，x2，當(dāng)x1f(x2 )，那么就說在這個區(qū)間I上是減函數(shù).D稱為y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)或是單調(diào)減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性.”語言比較嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范，抽象思維明顯提高，知識難度跨度大.因此，可把高中教材初中化，創(chuàng)造良好的學(xué)習(xí)情景，逐步促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知水平的提升.我們再次利用案例1，設(shè)計問題:(1)姚明的身高隨年齡的增加而增高嗎?(2)數(shù)學(xué)上如何表示年齡的增加和身高的增高?設(shè)計問題的意圖是關(guān)注概念的發(fā)展過程，由感性到理性進(jìn)行了鋪墊.

三、加強一次、二次函數(shù)的再教學(xué)

一次、二次函數(shù)貫穿整個中學(xué)階段，筆者對兩種函數(shù)的初高中教學(xué)要求進(jìn)行比較，制作出表格讓學(xué)生熟悉它們之間的異同與特點.一次函數(shù)在初中的教學(xué)中是重點內(nèi)容，高中的應(yīng)用多體現(xiàn)在圖像的應(yīng)用方面，快速畫出趨勢圖形是直線方程的教學(xué)目標(biāo).一次函數(shù)的圖像在線性規(guī)劃的應(yīng)用，再次體現(xiàn)圖像教學(xué)的優(yōu)越性.二元一次不等式 ( 組)表示平面區(qū)域是簡單的線性規(guī)劃問題的基礎(chǔ)，通常是直線定界，特殊點定域，其實只需將直線的一般形式改寫為直線的斜截式(一次函數(shù)的圖像)，就可以減少特殊點定域的麻煩.因為不等式y(tǒng)kx+b表示的平面區(qū)域在直線y=kx+b的上方. 例如:畫出不等式2x-y+6>0所表示的平面區(qū)域.不等式2x-y+6>0等價變化為y<2x+6，不等式2x-y+6>0所表示的平面區(qū)域在直線y=2x+6的下方.只需直線的斜截式方程定界，大于在上方區(qū)域，小于下方區(qū)域.

二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式之間的聯(lián)系問題(三個二次之間的聯(lián)系問題)，高中教師的教學(xué)特別注意每一屆初中教材中二次方程和二次函數(shù)的教材處理的情況. 現(xiàn)階段初中教材中二次方程求根的方法，只強調(diào)求根公式，基本不講利用十字相乘因式分解求根.進(jìn)入高中后對于“解一元二次不等式”的學(xué)習(xí)，學(xué)生不習(xí)慣用因式分解求根，大多用求根公式求(套公式)，教師需要及時補充十字相乘因式分解的求根方法.

函數(shù)的應(yīng)用反映在兩個方面:1. 用函數(shù)解決現(xiàn)實生活中一些簡單問題;2.用函數(shù)思想討論其他的數(shù)學(xué)問題.函數(shù)的應(yīng)用貫穿整個中學(xué)階段的.

初中的教學(xué)趨向函數(shù)應(yīng)用的第一方面，用函數(shù)思想討論其他的數(shù)學(xué)問題則滲透在高中的教學(xué)中.實現(xiàn)初高中的平穩(wěn)過渡，能提高學(xué)生的思維能力.作為函數(shù)的幾何特征——函數(shù)圖像，在教學(xué)中發(fā)揮了重要的作用.

【案例2】(《必修1》P95例1)假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案回報如下:

方案一:每天回報40元;

方案二:第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元;

方案三:第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番.

(1)請你分析比較三種方案每天回報的大小情況.

思考:各種方案每天回報的變化情況可用什么數(shù)量關(guān)系表示?你能夠利用所學(xué)函數(shù)知識描述這些數(shù)量關(guān)系嗎?

(2)你會選擇哪種投資方案?

思考:選擇投資方案的依據(jù)是什么?

上面兩個案例作為教學(xué)過程中的例題，十分貼近學(xué)生的生活.通過將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和建模能力;同時通過文字語言、圖形語言和符號語言的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生處理分析數(shù)據(jù)以及圖利判斷能力.

責(zé)任編輯羅峰