高中生數學審題能力的培養

學生解題出現失誤的原因往往是由于他們審題不認真，未看出題目的潛在本質或題目隱含的關系造成的.解題雖然沒有固定的模式，但是我們可以從解題的實踐過程中總結出科學的思維方法和合理的解題步驟，以迅速提高解題能力.由于深入細致地審題、分析、選擇解法是成功解題的前提，所以我們教學過程中必須時時注意培養學生的審題能力.審題，簡單來說就是弄清已知的條件和要求的結論，這是解題的基礎，也是培養觀察能力、提高思維敏銳性的重要途徑.

一、善于觀察

觀察是認識事物最基本的途徑，它是了解問題、發現問題和解決問題的前提.任何一道數學題，都包含一定的數學條件和關系.要想解決它，就必須依據題目的具體特征，對題目進行深入、細致、透徹的觀察，然后認真思考，透過表面現象看其本質，這樣才能確定解題思路，找到解題方法.

例1 如果函數f(x)=，那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+ f(4)+f()= .

審題:本例求7個函數值的和，若逐個代入再相加，雖然花些時間運算一下還是不難算出，但是若稍加觀察分析7個自變量的值:1、2、、3、、4、，便可知里邊肯定有“文章”，從而不難發現f(x)+f()=1.于是可得原式=3+f(1)=3+=.

又如，設f(x)=，求和式f()+f()+…+f()的值.這1000個函數值之和，若再逐個代入再相加，則難以逾越分數指數冪運算的障礙，這提示我們另找途徑.+=+=…=+=1，f(x)+f(1-x)=+=1，可得原式=500.

二、善于聯想

聯想是問題轉化的橋梁.稍具難度的問題和基礎知識的聯系，都是不明顯的、間接的、復雜的.因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關知識，作出相應的聯想，將問題打開缺口，不斷深入.例如，解方程組x+y=2xy=-3.這個方程指明兩個數的和為2，這兩個數的積為-3.由此聯想到韋達定理，x、y是一元二次方程t2-2t-3=0的兩個根，所以x=-1y=3或x=3y=-1.可見，聯想可使問題變得簡單.

例2 已知a、b、c均為正實數，滿足關系式a2+b2=c2，又n為不小于3的自然數，求證:an+bn

審題:由條件a2+b2=c2聯想到勾股定理，a、b、c可構成直角三角形的三邊，進一步聯想到三角函數的定義可得如下證法.由于這是一個關于自然數n的命題，一些學生都會想到用數學歸納法來證明，難以進行數與形的聯想，原因是平時不注意代數與幾何之間的聯系，單純學代數、學幾何，因而不能將題目條件的數字或式子特征與直觀圖形聯想起來.

【參考答案】設a、b、c所對的角分別為A、B、C.則C是直角，A為銳角，于是sinA=，cosA=，且0

當n≥3時，有sinnA

于是有sinnA+cosnA

即()n+()n<1，從而就有 an+bn

三、善于將問題進行轉化

轉化是解數學題的一種十分重要的思維方法.那么怎樣轉化呢?概括地講，就是把復雜問題轉化成簡單問題，把抽象問題轉化成具體問題，把未知問題轉化成已知問題.在解題時，觀察具體特征，聯想有關問題之后，就要尋求轉化關系.

例3 已知a+b+c=++=1，求證a、b、c中至少有一個等于1.

審題:結論沒有用數學式子表示，很難直接證明.首先將結論用數學式子表示，然后轉化成我們熟悉的形式. a、b、c中至少有一個為1，也就是說a-1、b-1、c-1中至少有一個為零，即(a-1)(b-1)(c-1)=0.這樣，問題就容易解決了.很多學生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個為1，其原因是不能把要證的結論“翻譯”成數學式子，把陌生問題變為熟悉問題.因此，多練習這種“翻譯”，是提高轉化能力的一種有效手段.

【參考答案】∵++=1，∴bc+ac+ab=abc.

于是(a-1)(b-1)(c-1)=abc-(ab+ac+bc-1)+(a+b+c)=0.

∴ a-1、b-1、c-1中至少有一個為零，即a、b、c中至少有一個為1.

責任編輯羅峰