需要計算更需要想象

在四年級“三角形”這一單元里，學(xué)生作業(yè)中有這么一個習(xí)題：在等腰三角形中，它的一個角是50°，求另外兩個角的度數(shù)。

下面是一位老師的處理過程。

在學(xué)生自主探索的基礎(chǔ)上，師生共同歸納：

(1)如果頂角是50°，(180-50)÷2=65(°)。

答：另外兩個角的度數(shù)都是65°。

(2)如果底角是50°，180-50x2=80(°)。

答：另外兩個角分別是50°、80°。

然后變式：如果它的一個角是150°，另外兩個角分別是多少度?

部分聰明的學(xué)生很快探索得出只有一種情況，150°只能是等腰三角形的頂角，另外兩個角的度數(shù)都是15°，因為一個三角形中最多只有一個鈍角。

按照傳統(tǒng)的理解，這位老師的處理已經(jīng)基本到位：在學(xué)生自主探索的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生及時進行整理歸納，歸納過程中非常注重解題思路的理清，把為什么這么解答的算理講得非常清楚，特別是為了防止學(xué)生簡單模仿，還加入了變式練習(xí)。但實際的練習(xí)效果并不理想，部分后進生課后遇到同樣的問題，又出現(xiàn)了差錯。什么原因呢?課后我們進行了深入細致的反思，覺得問題還是缺在對空間與圖形這部分內(nèi)容中計算要求的理解與把握上。

我們認為空間與圖形內(nèi)容中的計算及其算理是在空間觀念關(guān)照下的一種數(shù)學(xué)實踐活動，缺少了空間觀念的關(guān)照這一前提，這樣的算理理解就缺少了支撐。在上述處理過程中，該教師已經(jīng)意識到這個問題的解決不能一步到位，所以非常注重讓學(xué)生理清其中的思路，還安排了變式。但把眼光局限于抽象算理的語言演繹，缺少抽象算理背后的形象支撐，即缺少這么一個后繼環(huán)節(jié)。即在歸納得出兩種情況后，讓學(xué)生想象一下剛才求得的度數(shù)對應(yīng)的是怎樣的兩個三角形，這樣便于學(xué)生把抽象的算理與具體的圖形建立實質(zhì)性的聯(lián)系。再進行變式，但先不計算，而是讓學(xué)生根據(jù)剛才的想象，判斷當(dāng)頂角是150°時，又是怎樣的一個圖形，然后再計算，來驗證想象。如果想象與計算吻合，那么不但是對想象的一種肯定，同時也是對前面計算過程算理的一種確認，實現(xiàn)了抽象算理理解及數(shù)字計算與形象圖形感知與想象的有機融合；如果想象與計算有出入，那么因為有圖形的支撐，就非常容易找到錯誤之處。并有針對性地加以糾偏。整個處理過程緊緊圍繞學(xué)生的空間觀念的發(fā)展而展開，這樣，學(xué)生對為什么這樣算就有了形象的支撐，有了形象的支撐，學(xué)生對問題的理解就有了著力點，相應(yīng)的遷移能力也就得到了保證。反之，缺少形象的支撐，這樣的問題單憑計算，學(xué)生很難具體化，學(xué)生針對自己的錯誤，很難尋找錯誤的原因，對于以形象思維占主導(dǎo)的中年級學(xué)生來說，理解夾生也就不足為怪。華羅庚教授曾說：數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微。《九章算術(shù)》里有這樣一句話：析理以詞，解體用圖。數(shù)與形的有機結(jié)合本身就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效方法，我們習(xí)慣上把上述問題看成單純的計算問題，就計算解決計算，對該習(xí)題價值的把握與挖掘難免有失偏頗，不能給學(xué)生找到解決問題的鑰匙也就在情理之中了。

在實際課程實施過程中，我們教師許多時候主觀愿望非常美好，如上述過程中老師想通過變式防止學(xué)生對例題的簡單模仿，但抓不住所學(xué)內(nèi)容的核心價值，這樣的變式不但不能幫助學(xué)生理解問題的實質(zhì)，反而造成學(xué)生機械記憶，因為學(xué)生對于不理解的知識及其解題過程，只能簡單記憶模仿。空間與圖形的核心價值是發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，我們在處理與此有關(guān)的問題時，只有緊緊抓住它的核心價值，才能取得事半功倍的效用。發(fā)展空間想象能力需要借助于一定的載體，這一題就是借助于計算幫助學(xué)生發(fā)展空間想象能力，沒有計算，你怎么能讓學(xué)生得到這兩種不同的情況呢?在這里計算是解決問題的方法，但不是解決問題的最終目的，我們設(shè)計這樣一個問題不是單純讓學(xué)生練習(xí)計算，而是要通過計算發(fā)展空間觀念。所以怎樣認識小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容每一部分的核心價值，在課程實施過程中充分發(fā)揮每一個內(nèi)容包括每一個習(xí)題應(yīng)該發(fā)揮的價值，是當(dāng)前教師解讀教材、理解習(xí)題價值的過程中需要解決的首要問題。體現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)是當(dāng)下的熱點，而發(fā)揮每一部分內(nèi)容的核心價值是體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)的重要表征，只有把每一部分的核心價值充分體現(xiàn)，我們的數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)才能得到充分的彰顯。