學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維能力的培養(yǎng)

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，只重視數(shù)學(xué)邏輯思維能力訓(xùn)練而忽視數(shù)學(xué)直覺思維能力培養(yǎng)，容易導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的片面發(fā)展，更會導(dǎo)致學(xué)生思維得不到提高和創(chuàng)新，阻礙學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力的發(fā)展.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維能力，具有重要的意義.

一、創(chuàng)設(shè)條件，激勵數(shù)學(xué)猜想

數(shù)學(xué)猜想是依據(jù)某些數(shù)學(xué)知識和已知事實，對未知量及其關(guān)系作出的似真推理，是科學(xué)假說在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn).

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，創(chuàng)造條件讓學(xué)生去猜想去探索，是培養(yǎng)學(xué)生直覺思維的一條重要途徑.為了讓學(xué)生積極參與探索，教師除了教給學(xué)生一些猜測方法(如類比、歸納、想象、逆向等)外，還要經(jīng)常結(jié)合教材有目的地編制一些開放性、探索性問題讓學(xué)生去猜測結(jié)論、解題思路和解題方法等.

例:圖中△ABC，AB=AC，∠B、∠C的平分線BE、CD分別交AB、AC于D、E，BE與CD交于G，∠C的外角∠ACM的平分線CF與BE的延長線交于F.在這個圖形中可以得出哪些結(jié)論?

分析:至少猜測有以下結(jié)論:

(1)關(guān)于邊:

①AD=AE，BD=CE;

②BE=CD;

③BG=CG，DG=EG.

(2)關(guān)于角:

①∠DGB=∠EGC，∠DGE=∠BGC;

②∠AEG=∠FEC，∠AEF=∠GEC;

③∠ABE=∠CBE=∠ACD=∠BCD;

④∠ABC=∠ACB;

⑤∠ADG=∠AEG，∠BDG=∠CEG;

⑥∠BGC=∠ACM;

⑦∠F=∠A;

⑧∠FCG=90°.

(3)關(guān)于三角形的形狀:

①△GBC為等腰三角形;

②△FBC為鈍角三角形;

③△FGC為直角三角形.

(4)關(guān)于全等三角形:

①△ABE≌△ACD;

②△BDC≌△CEB;

③△BDG≌△CEG.

(5)關(guān)于相似三角形:

①△DEG∽△DGB;

②△ECB∽△EGC.

如果允許添加輔助線，還可得更多的結(jié)論，例如:①△DEG∽△CBG;②DE∥BC;③AG平分∠A;④四邊形ADGE的對角線相互垂直.

二、觀察分析，整體思考問題

整體思考方法是從全局總體著眼處理問題，通過細(xì)心觀察分析數(shù)學(xué)材料的整體結(jié)構(gòu)，理解和認(rèn)識問題的實質(zhì)，概括出數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)而確定解題策略.由于整體性是數(shù)學(xué)直覺思維形式的重要特征之一，因此，對于創(chuàng)設(shè)的問題情境首先從整體上考察其特點(diǎn)，著眼從整體上把握事物的本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系，往往可以激發(fā)直覺思維意識和思維創(chuàng)新.

例:計算[(19+18.5)÷4-11.75]×(6-0.25×26).

通過觀察分析，如果按順序運(yùn)算，過程較為復(fù)雜.可引導(dǎo)學(xué)生從整體上觀察，看出它的最后結(jié)果是求兩數(shù)之積，同時發(fā)現(xiàn)最后一個因數(shù)是兩數(shù)之差為0，所以判斷這題得數(shù)是0.

又例:方程(x-a)(x-4)-1=0有兩個整數(shù)根，求a的值.

這道題通過整體思考，即可看出a=4時滿足條件，因為這時方程(x-4)2=1，可得x1=5，x2=3.

當(dāng)然還要考慮a能否為其他數(shù)?由于兩根均為整數(shù)，則兩根之和為4+a也應(yīng)為整數(shù)，因此a只能為整數(shù).

由原方程得(x-a)(x-4)=1，∵x為整數(shù)，此式表明兩個整數(shù)(x-a)和(x-4)的乘積為1.

∴x-a=1，x-4=1或x-a=-1，x-4=-1，從而a=4是唯一合乎條件的值.

此題如果用一元二次方程根的判別式或韋達(dá)定理就難以解答了.

三、注重聯(lián)想，充分運(yùn)用直覺

聯(lián)想本身就是一種解題方法，敏銳的聯(lián)想力和觀察力可以使學(xué)生“見微知著”.教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察數(shù)學(xué)問題、注重聯(lián)想啟發(fā)，并且引導(dǎo)學(xué)生通過聯(lián)想將要解決的問題化歸到已有的知識技能體系中去，努力突破思維定式，充分運(yùn)用直覺，及時敏銳地作出決策，解決問題.

例:已知△ABC中，AB=15，AC=20，高AD=12，則角平分線AE的長為()

A. 12;B.;

C.12或;D.無解.

觀察題設(shè)，以高AD為思維點(diǎn)，高AD可以在△ABC內(nèi)部，也可能在△ABC外部.顯然角平分線AE的長度應(yīng)有兩解，故選C.通過作圖計算，我們發(fā)現(xiàn)結(jié)論C是正確的.

又例:如圖，已知∠A+∠E+∠C=360°.求證:AB∥CD.

從A、E、C三點(diǎn)位置來觀察，呈三角形，這就聯(lián)想到三角形內(nèi)角和是180°，則可連結(jié)AC.這時要證AB∥CD，只要證明∠BAC+∠ACD=180°，顯然由條件可得出這個結(jié)論.

以整個圖形上觀察，點(diǎn)E位于一個突出位置，似乎覺得過點(diǎn)E作平行于AB或CD的直線，只要證它同另一條直線平行，便可達(dá)到目的.而若過點(diǎn)E作直線EF∥AB，則可推出∠BAE+∠AEF=180°，從而得出∠FEC+∠ECD=180°，EF∥CD， AB∥CD.

四、培養(yǎng)能力，揭示思維規(guī)律

思維能力的培養(yǎng)，著重在邏緝思維和直覺思維上，而邏輯思維是“講理”，以理服人;直覺思維表面上是“無理”，容易使學(xué)生產(chǎn)生神秘莫測的心理情緒.因此教師應(yīng)當(dāng)注意幫助學(xué)生培養(yǎng)思維能力，將直覺思維中模糊的環(huán)節(jié)清晰地展現(xiàn)，完善邏輯推理成份，這對培養(yǎng)直覺思維和邏輯思維都是有益的.同時也使學(xué)生意識到，直覺思維是以一定的知識和推理為基礎(chǔ)的，沒有基礎(chǔ)知識的積淀和基本能力的具備，企圖靠感知便一蹴而就的想法是不切合實際的.

例:解方程3-=x.

這是一個無理方程，常規(guī)解法是移項，兩邊平方，轉(zhuǎn)化為有理方程求解.

有學(xué)生會脫口而出說x等于2，似乎是未卜先知，原來他是這樣模糊認(rèn)定的:觀察方程結(jié)構(gòu)，x等于3減去“一個根號”，x就應(yīng)小于3，x=1顯然不對，x就等于2吧.

對于學(xué)生的這種頓悟，教師必須補(bǔ)充完善其中的邏輯推理過程.

(1)應(yīng)有意義，則x-1≥0，即x≥1;

(2)原方程變?yōu)閤=3-，因為≥0，所以x≤3;

(3)聯(lián)合(1)(2)得1≤x≤3;

繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理，從1≤x≤3就能說x=2嗎?顯然不能.但很容易驗證x≠1，x≠3，從12時，x-1>1，>1，從而3-<2，就是x<2，這與假設(shè)x>2自相矛盾，所以x不能大于2.同理x不能小于2，這樣x就只能等于2.將x=2代入原方程檢驗是正確的.

需要注意的是，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中因地制宜地培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力，也應(yīng)該讓學(xué)生注意到根據(jù)直覺判斷的每個假設(shè)還需要進(jìn)行檢驗和證明.

責(zé)任編輯羅峰