數學教學中反思情境的創設

反思是數學思維活動的重要組成部分，它有助于學生對客觀事物中蘊含的數學模式進行思考并作出判斷，深化對客觀事物的探究.因此，在教學過程中，潛心創設反思情境，必能激發學生的主動探究精神.

一、提出反例，創設反思，深化新知

數學知識的積累和技能的掌握源自于對數學知識的理解，它為知識的運用和探索數學問題提供理論基礎.為此，在知識的傳授過程中，我注意搜索反例，引導學生主動探索，做到聽中有思，思中有悟，學會捕捉引起反思的問題或提出具有反思性的見解，從而深化知識的理解.

例1:直線與平面垂直的判定定理.

通過實例得出線面垂直的判定定理后，學生對定理中結論成立的條件往往不夠注意，常因“只知其一，不知其二”，在應用這一定理時錯漏百出.為此，我緊扣“兩條相交的直線”這一命題條件句的“相交”兩字，設置極易錯判的命題，讓學生討論、分析:

①如果一條直線和平面內的兩條直線都垂直，則這條直線垂直于這個平面;

②如果一條直線和平面內的無數條直線都垂直，則這條直線垂直于這個平面.

為此，我引導學生觀察日常生活中，建筑物的階梯面與立柱的位置關系.學生觀察后發現:每一級階梯的階梯線都與立柱線垂直，所有的階梯線都在階梯面內但均不相交(實際上它們都是互相平行)，雖然立柱線與所有的階梯線都垂直，但是立柱線與階梯面并不垂直.這一具體的實例讓學生真實感受到，定理中 “相交”兩字的深刻內涵.借此實例，學生們很快對上述兩個命題的真假作出了正確的判斷.通過對兩個反例的深入討論、分析，學生不僅加深了對定理的深刻理解，而且還提高了“立幾”在現實生活中應用的能力.

例2:橢圓的定義.

在演示橢圓的形成過程后，學生通過觀察、分析得出:橢圓是平面上到兩定點的距離之和等于常數(常數大于兩定點間的距離)的動點的軌跡.得出這一定義后，我從定義中“大于”一詞的反面提出下面的問題:

若常數小于或等于兩定點間的距離時，動點的軌跡又怎樣?

學生迎難而上，在練習本上作草圖，仔細分析、交流與思考，得到如下的結果:

①當常數等于兩定點間的距離時，動點只能在兩定點間的連線段上運動，此時動點的軌跡是兩定點間的連線段;

②當常數小于兩定點間的距離時，若動點在兩定點間的連線外運動，動點與兩定點構成三角形，而任意三角形兩邊之和大于第三邊，則常數大于兩定點間的距離;若動點在兩定點間的連線段的反向延長線上運動，則常數同樣大于兩定點間的距離.由此可知:不存在這樣的動點.綜合這一實踐結果，學生們得出結論:若常數等于定長，則動點的軌跡是線段;若常數小于定長，則動點的軌跡不表示任何圖形.

這一從實踐中得出的結論，使學生深刻理解橢圓定義中的“常數”是有條件的.學生由此體會到數學定義的嚴謹性，為以后雙曲線定義的學習打下了良好的基礎.

二、提供對比，創設反思，區分正誤

有些數學問題表面上看起來很相似，稍不留神，就會出錯.在教學過程中，我注重設置易混問題，通過對比，去偽存真，培養和提高學生正確分析、完整解決問題的能力.

例3:(1)求曲線y=3x-x3在A(2，-2)處的切線方程.

(2)求過曲線y=3x-x3上一點A(2，-2)的切線方程.

咋一看，這兩個問題沒什么分別.很多學生認為兩個問題中提到的點A(2，-2)在所給曲線上，因此是同一問題——即求已知曲線上某一點處的切線方程，因而點A即切點.

為了剝開這兩個問題的“偽裝”，掌握區分正誤的分水嶺.我引導學生圍繞點A是否一定是切點仔細分析，深入對比，通過師生的互動，易混之處終于浮出水面:根據題意，第(1)題是求點A處的切線，則點A一定是切點;而第(2)題是求“過A點的切線”，因此點A可能是切點，也有可能不是切點，兩方面須分類考慮，從而找到了易混問題的關鍵.這樣，不但易混問題得到全面解決，更調動了學生的探索熱情.

例4:⑴已知函數f (x)=log(a-2x)的定義域為(-∞，1)，試求實數a滿足的條件.

⑵已知函數f (x)=log(a-2x)在(-∞，1)上有意義，試求實數a滿足的條件.

和例3一樣，一看題目，就有部分學生認為，它們只是提法不同的同一個問題.這部分學生之所以會看走眼，原因在于混淆了“定義域”和“有意義”在問題情境中的真實內涵.為此，我啟發學生緊緊抓住“定義域”和“有意義”進行討論、對比，尋求解決問題的突破口:

問題⑴:函數f (x)的定義域為(-∞，1)，即關于x的不等式a-2x>0的解集(-∞，)(-∞，1)，兩者互為充要條件.由=1a=2為所求.

問題⑵:函數f (x)在(-∞，1)有意義，即關于x的不等式a-2x>0的解集(-∞，)必須包含(-∞，1)，a后者是前者的充分條件.由≥1a≥2為所求.

由此可見，注重易混問題的對比，不但問題本身得到準確、完整的解決，而且能使學生學會如何捕捉易混問題的易混之處，通過對比、判斷，使易混問題的真像大白于“天下”，從中增強學生識別正誤的能力.

三、雙向總結，創設反思，拓展知識

加強題型、思路的總結并將問題擴展和延伸，不但能提高學生解題的靈活性，而且能拓展學生的知識層次.因此，在解題教學中，我注意創設反思情景，進行雙向總結，擴展學生的知識和能力.

例5:若數列{an}中，a1=2，an+1=2an+1，求數列{an}的通項公式.

學生根據已知條件和遞推公式，很快列出了數列的前幾項:2，5，11，23，47，….但是，如何由數列的前幾項，推導出數列{an}的通項公式，學生就感到為難了.

為了幫助學生越過這一跨度較大的難關，我引導學生將此題與熟悉的等比數列掛鉤，進行適當的變形.學生經過交流、探討，從中發現兩個信息:

①第二項起每一項與前面一項的差，構成等比數列;

②各項加上成等比數列.

有了這兩個信息，我引導學生進行雙向總結，根據遞推式得到解決問題的兩種途徑:

思路一:由an+1=2an+1an+2=2an+1+1，兩式相減得:an+2-an+1=2(an+1-an)，∴數列{an+1-an}是以a2-a1=3為首項，2為公比的等比數列，∴an+1-an=3#8226;2n-1.再把an+1=2an+1代入可得:an=3#8226;2n-1-1.

思路二:由an+1=2an+1，設an+1+x=2(an+x)，則2x-x=1x=1，即an+1+1=2(an+1)，∴{an+1}是以a1+1=3為首項，2為公比的等比數列，∴an+1=3#8226;2n-1an=3#8226;2n-1-1.

解決本題后，我又引導學生反思題型、思路.經過師生的共同努力最后得出:①這是一道以線性關系的遞推式為背景的數列問題;②若an+1=can+t(其中c、t為常數且c≠0，c≠1，t≠0)，則可以通過構造數列{an+1-an}或數列{an+p}(其中p=)為等比數列求解.

反思是面鏡子，能幫助學生清晰地認識自已，實現對知識和能力的自我更新和完善.

責任編輯羅峰