在高中數學教學中培養學生的發散思維

如何有效培養學生的發散思維呢?

一、一題多解，靈活思維

一題多解，就是啟發和引導學生從不同角度、不同思路，運用不同的方法和不同的運算過程去分析、解答同一道數學題，它屬于解題的策略問題。

例1. 橢圓+=1的焦點是F1、F2，橢圓上一點P滿足PF1⊥PF2，下面結論正確的是()。

A. P點有兩個

B. P點有四個

C. P點不一定存在

D. P點一定不存在

解法一:以F1F2為直徑構造圓O:x2+y2=9，聯立方程組可求得圓O與橢圓不可能有交點。故選D

解法二:計算cos∠F1PF2的取值范圍，由 cos∠F1PF2≠0，得出∠F1PF2≠90°，∴PF1⊥PF2不可能成立故選D

解法三:設∠PF1F2=θ，∵PF1⊥PF2，∴PF1+PF2=6cosθ+6sinθ=6sin(θ+)≤6，而PF1+PF2=2a=10即:10≤6，不可能成立。故選D

解法四:由題知(S)max=F1F2#8226;b=3×4=12，∵PF1⊥PF2 ∴S=b2tan=16，而12>16不可能成立，故選D

解法五:設P(5cosθ，4sinθ)，由1#8226;2=0?圯cos2θ=-無解，故選D

一題多解模式，在一定程度上可以很好地吸引學生從多角度觀察、思考、聯想、概括并獲得多種解題途徑，從而使他們既開闊了視野，又增添了興趣，也感受到數學的美妙，更培養了發散思維的靈活性。

二、一題多變，開拓思維

例2. 求函數f(x)=x2-2x-3在[-2，2]上的最大值和最小值.

分析:∵對稱軸x=1，∴當x=1時，f(x)min=-4，當x=-2時，f(x)max=5

變式1:求函數f(x)=x2-2x-3在[-2，-1]上的最大值和最小值.

分析:由f(x)在[-2，-1]上單調遞減，∴當x=-1時，f(x)min=0，當x=-2時，f(x)max=5

變式2:求函數f(x)=-x(x-a)在x∈[-1，1]上的最大值.

分析:本題屬于軸動區間定的類型題，可按對稱軸與定義域區間的位置關系，由數形結合可得f(x)在[-1，1]上的最大值f(x)max=-(a+1)，a<-2，-2≤a≤2a-1，a>2

變式3:求函數f(x)=x2-2x-3在[a，a+1]上的最小值.

分析:本題屬于軸定區間動的類型題，按對稱軸與定義域區間的位置關系，由數形結合可得f(x)在[a，a+1]上的最小值f(x)min=a2-4，a<0-4，0≤a≤1a2-2a-3，a>1

變式4:已知函數f(x)=-+x在區間[m，n]上的值域是[3m，3n]，求m，n的值.

分析:對稱軸x=1，可討論1與m，，n的大小關系，通過分類討論可求得m=-4，n=0

變式5:求函數f(x)=cos2x+sinx的值域.

分析:f(x)=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1，令t=sinx，則問題轉化為求y=-2t2+t+1在t∈[-1，1]的值域，易得f(x)的值域為-2，

本例通過不斷變形，既對一元二次函數的區間最值進行了探討，又從中滲透了分類討論思想、轉化與化歸思想、數形結合思想。

三、一題多探，深刻思維

傳統的封閉題條件完備，有固定的思路，答案唯一，學生通過模仿就可以掌握，但這從一定程度上抑制了學生的創新靈感。而開放探索性問題的特征是題目的條件不充分或沒有確定的思路、結論，所以其解題策略往往是多樣的，答案也不唯一。它為學生提供了更多的交流與合作的機會，為充分發揮學生的主體作用創造了條件。

數學開放題由于具有探索性和多樣性，不同的問題有不同的解題策略，需要不斷研究和推敲，常常要不循常規，勇于創新，考慮的問題存在著多種可能性。

四、一題多用，獨特思維

一題多用，就是利用題目的結論，借題發揮，達到解決多個數學問題的目的。

例4. 已知a，b，m∈R+，且a

根據結論的結構特征，改變一下考察問題的角度，可獲得如下應用:

(1)斜率問題， 即兩點(b，a)、(-m，n)連線的斜率大于兩點(b，a)、(0，0)連線的斜率，其中a，b，m∈R+;且a

(2)濃度問題，即b個單位溶液中有a個單位溶質，其濃度小于加入m個單位溶質后的濃度;

(3)建筑物的采光度問題，建筑學上規定:民用建筑的采光度等于窗戶面積與地面面積之比，但窗戶面積必須小于地面面積，采光度越大說明采光條件越好，即增加同樣的窗戶面積與地面面積后，我們可知采光條件變好了。

責任編輯 李 淳