淺談奔福德定律在審計中的應用

　　【摘要】 在經濟環境和審計對象日趨復雜化的當今，人們不斷地探索新的審計技術來解決現實中財務舞弊的問題。文章在介紹奔福德定律及其在國外應用的基礎上，分析了我國在審計實務中引進奔福德定律的數值分析技術的必要性和可行性，并通過實際案例加以驗證。
　　【關鍵詞】 審計技術； 奔福德定律； 財務舞弊
　　
　　審計技術方法是審計人員為了達到審計目的，對審計對象進行檢查、函證、查詢、分析等程序，收集審計證據，形成審計結論和發表審計意見的手段和工具。它是審計人員從長期審計實際中總結和積累起來，從某種程序上來說，它決定了審計人員執業質量的高低。在經濟環境和審計對象日趨復雜化的當今社會，對現有審計技術的提升和完善就顯得至關重要，本文借鑒國內外研究成果的基礎上，分析了我國在審計實務中引進奔福德定律（Benford’s Law）的數值分析技術的必要性和可行性，并通過實際案例進行分析。
　　
　　一、奔福德定律及國外的應用
　　
　　奔福德定律是由美國數學家、天文學家塞蒙·紐卡姆（Simon Newcomb）在1881年首次發現的。在1881年的一天，他在使用對數表做計算時，突然注意到對數表的第一頁要比其他頁更為破舊。奇怪的現象激發了他的研究興趣，當時他所能得到的唯一解釋是人們對小數字的計算量要大于對大數字的計算量。經過大量的統計分析，他發現了許多類型的數字都很好地符合這樣的規律：以1為第一位數的隨機數要比以2為第一位數的隨機數出現的概率要大，而以2為第一位數的隨機數又比以3為第一位數的隨機數出現的概率要大，以此類推。當時紐卡姆關注這一數學現象完全是出于好奇，并沒有對這一定律做出任何解釋。由于當時的人們對這一規律的運用缺乏興趣，這一發現很快就被人們忘卻了。
　　到了1938年，美國通用電器（GE）的物理學家弗瑞克·奔福德（Frank Benford）注意到了同樣的現象。他收集并驗證了總數為20 229個數字，其中包括籃球比賽的數字、河流的長度、湖泊的面積、各個城市的人口分布數字、在某一雜志里出現的所有數字，利用了概率的數理統計思維，發現在這些數字中，整數1在數字中第一位出現的概率大約為30％，整數2在數字中第一位出現的概率大約為17％，整數3在數字第一位出現的概率約為12%，而8和9在數字中第一位出現的概率約為5％和4％。這一規律因此也被人們稱為“第一位數分布規律”。弗瑞克·奔福德并推導了奔福德定律的數學表達式，即數字的第一位上各個非0數字出現的概率表達如下：
　　其中：n=1，2，3，…，9；p（n）代表數值的概率，lg為以10為底的常用對數符號。
　　根據上式，數字第一位上出現1至9的數值依次代入上式，得結果如表1所示。
　　奔福德定律從產生后就引起人們的廣泛關注，后人對此定律進行了大量的擴展研究，取得比較典型成就的有數學家Pinkham，他研究并證明了奔福德定律不受度量單位的影響，使得人們合理解釋了不同國家不同貨幣計量工具下的財務數據均可以采用奔福德定律進行數值分析，而對奔福德定律的證明直到1996年才由Hill給出了嚴謹的數學證明，從理論上滿意地解釋奔福德定律的正確性。
　　半個世紀過去后，有人開始關注這一定律在財務領域的應用。1988年，Carslaw首次把奔福德定律應用到會計領域，他提出了一個有趣的假設：當公司的凈利潤剛好低于心理預期邊界時，管理者會傾向于想辦法讓這些數字剛好“上線”，因為他們都想報告出更高的收入數據來。Carslaw通過實證研究驗證了這一假設。Thomas于1989年在美國一些公司的財務數據中發現了同樣的現象。1996年，Nigrini開發了對財務數據進行奔福德定律測試的計算機軟件，首先把奔福德定律系統、廣泛地應用到舞弊審計領域。Nigrini將這種舞弊審計的技術方法稱為數值分析技術。這一軟件在實際審計應用中取得了相當好的效果，例如利用這一技術成功地識別出美國旅游度假公司的財務舞弊案。在審查納稅舞弊時，奔福德定律也發揮了很大的作用。Nigrini被邀請參與了幾個國家的稅收審查，他設計的軟件甚至還被用來審查比爾·克林頓的納稅情況。由于這些案例的成功，奔福德定律在美國和歐洲國家引起了廣泛的關注，同時也得到了許多集團企業、政府部門、上市公司、專業機構以及世界著名的審計師事務所的重視。
　　
　　二、奔福德定律在我國應用的現狀
　　
　　目前，國內對奔福德定律的介紹和研究極少，實踐上也沒有得到應用。筆者多次檢索了中國期刊網、萬方論文及期刊數據庫等文獻數據庫，關于奔福德定律的文章很少，只有幾篇，如由馮郁和丁國勇所寫的《班福法則及其審計應用》（審計理論與實踐2003第12期）文中將Benford's Law譯為班福法則，該論文簡要介紹了這一定律的內容，并通過一組實際財務數據來顯示和驗證該定律的正確性；張蘇彤所寫的《奔福德定律：一種舞弊審計的數值分析方法》（中國注冊會計師2005第11期）利用2003年1 394家上市公司的主要財務數據進行了奔福德定律的驗證性測試，張蘇彤和康智慧所寫的《信息時代舞弊審計新工具——奔福德定律及其來自中國上市公司的實證測試》（審計研究 2007第3期）進一步對2006年1447家上市公司的主要財務數據與奔福德理論值進行相關系數的驗證性測試，并從相關系數的角度得出了財務舞弊公司的主要財務數據與奔福德理論值相關性較差的結論；王福生、李勛和孫遜所寫《奔福德定律及其在審計中的應用研究》（財會通訊 2007第3期）、《奔福德定律在審計領域的應用》（財會月刊2007 第3期）闡述了奔福德理論在審計領域應用的成果、適用性以及優缺點，并借助于某股份公司的財務數據驗證奔福德定律在舞弊識別上的有效性等等。我國這些文獻大多是在對奔福德定律做理論上的驗證性測試，在審計實務界還沒有展開。2008年10月筆者利用注冊會計師后續教育培訓一周的時間對一百多名注冊會計師進行過調查，99%以上的人對奔福德定律一無所知，他們在審計實務中大部分沿用常用的審計技術方法，如檢查、監盤、觀察、查詢、函證、計算以及分析程序，對于統計抽樣技術在審計實務中也應用很少，對抽樣的選擇主要還是依賴于注冊會計師的執業經驗。總的來說，國內對奔福德定律的理論研究從深度和廣度上來說都遠遠不及國外同行，在審計實務中也沒有得到有效的應用，我國在這方面有必要借鑒國外的經驗，將奔福德定律的數值分析技術融入我國的審計實務中。
　　
　　三、我國利用奔福德定律的必要性和可行性分析
　　
　　（一）我國利用奔福德定律的必要性分析
　　首先，我國是一個發展中國家，上市公司在我國企業中所占的比重較少，絕大多數企業屬于中小企業，中小企業占全國企業總數達到了99.8%，中小企業由于自身固有的局限性和外界環境的影響，其財務核算與管理的控制比較薄弱，財務舞弊現象較為普遍，對中小企業審計的風險較大。而我國對中小企業的審計現狀是數量遠遠超過上市公司，但審計的收費卻遠遠低于上市公司，很多中小規模會計師事務所為了生存不得不受制于成本效益原則，對中小企業的審計不可能象上市公司那樣做到很詳細，如確認資產很有效的監盤程序，在對中小企業年度審計中就很難做到位，有的注冊會計師根本不監盤，對存貨及固定資產的確認往往簡單地依企業賬面數確認，有的注冊會計師只象征性地抽查一兩個品名，因而在對中小企業審計中我們很有必要引進先進而又有效率的審計技術方法，來提高審計質量，降低審計風險。
　　
　　其次，我國在審計領域中如果引進奔福德定律的數值分析技術，可以完善我國現有審計方法體系，給財務舞弊的識別方法增添一項新的審計技術，提高現有審計水平，將有助于我國經濟的健康發展。
　　（二）我國利用奔福德定律的可行性分析
　　從理論上來說，大部分財務數據符合奔福德定律所揭示的分布規律，奔福德定律的數值分析技術識別財務舞弊已經在國外得到認可，在國內有關文獻也已經利用奔福德定律對有關的財務數據進行了驗證性的測試，測試結果是企業如果沒有進行財務舞弊，財務數據的分析數值與奔福德理論值是趨于一致的，如果企業的財務數據的分析數值與奔福德理論值出現偏差，預警人們企業可能存在財務舞弊。
　　從技術層面上說，我國大部分企業已經采用會計電算化進行賬務處理，審計人員對企業的財務數據很容易獲取，只需要從企業賬套中引出財務數據，形成EXCEL文檔，然后對數據進行整理，形成審計人員所需要的一串數據，再利用EXCEL中的數據公式進行處理，操作簡單易行，這也是奔福德定律的一大優點。下面以某單位的應收賬款賬戶的數據來詳細說明具體操作步驟：
　　1.整理數據。從賬套中引出應收賬款明細賬形成EXCEL文檔，打開文檔對數據進行整理，通過篩選功能去掉文檔中“上年結轉”、“本期合計”、“本年累計”所對應的數據，留下全年應收賬款每筆發生額的數據，選中借方發生額作為分析對象（假設借方發生額的數據在D列，共有數據7500個）。
　　2.截取數據的首位數。在空白的E列第一行輸入第一位首字的公式：LEFT（D1，1），將E列第一行選中，利用EXCEL填充柄功能將鼠標拖到E列的第7500行，這樣電腦就會自動把D列所有數據的第一位數字取出來存放在E列上。
　　3.計算每個首位數字的個數。在F列第一行輸入EXCEL條件計數公式：COUNTIF（D1：D7500，1），在F列第二行輸入：COUNTIF（D1：D7500，2），依次類推，直到在F列第九行輸入：COUNTIF（D1：D7500，9）。
　　4.計算每個首位數字在總數據中所占的概率。在H列第一行輸入公式：F1/7500，利用EXCEL填充柄的功能將鼠標拖到H列的第9行，首位數字所占的概率就會顯示出來。
　　5.比較數據。將H列所得到的首位數字的概率與奔福德定律中的概率數據進行比較，從而得出結論。
　　從審計的工作程序上看，利用奔福德數值分析技術形成的結論，一樣可以打印形成審計書面工作底稿，作為審計程序的一部分，為評估重大錯報風險提供信息來源。
　　
　　四、利用奔福德定律在審計中的案例分析
　　
　　在2007年度審計中，筆者曾經選擇企業資產均在6 000千萬以上，收入過億的生產和商貿兩個行業的六家中小企業的財務數據利用奔福德定律進行分析，本文選擇某皮革制造有限公司2007年度的真實財務數據進行說明。
　　審計過程中首先筆者對該單位的財務數據進行分析程序，對資產負債表進行結構百分比分析發現應收賬款占總資產36.69%，應付賬款占總資產38.08%，對利潤表進行比較百分比分析收入比上年增長11.4%，而銷售費用比上年增長117.98%，從重要性角度筆者又選擇了應收賬款、應付賬款以及銷售費用進行奔福德數值分析，模糊查找財務舞弊的跡象。
　　首先，對4 875筆應收賬款借方發生額的第一位數字出現的概率與奔福德定律相比較，具體數據如表2所示。
　　由表2中數據產生的柱狀圖如圖1所示。
　　從表2和圖1可以得出，2007年度應收賬款的發生額第一位數字出現的概率與奔福德定律相似，呈下降趨勢，經過比較不排除有會計舞弊的可能性，但從模糊查找角度看，應收賬款舞弊的可能性不大，當然在審計過程中對交易額超過審計重要性的發生額還需要進一步審核。
　　其次，對3 932筆應付賬款的第一位數字出現的概率與奔福德定律相比較，具體數據如表3所示。
　　由表3中數據產生的柱狀圖如圖2所示。
　　從表3和圖2可以得出，2007年度應付賬款的發生額第一位數字出現的概率與奔福德規定律相似，呈下降趨勢，經過比較不排除有財務舞弊的可能性，但從模糊查找角度看，應付賬款舞弊的可能性不大，當然在審計過程中還是對交易額超過審計重要性的發生額需要進一步審核。
　　最后對1 382筆銷售費用發生額的第一位數字出現的概率與奔福德定律相比較，具體數據如表4所示。
　　由表4中數據產生的柱狀圖如圖3所示。
　　從表4和圖3可以看出在數字1和數字9這兩位數字出現的概率高于奔福德定律，其他幾位數字出現的概率數值較接近，數字從2至8出現的概率基本是遞減趨勢，在數字1 和9處出現較大反差，針對每一位數字是1和9的數據進行分析，發現從7月份開始老板本人每月報銷加油費和路橋費幾十萬元，每筆數據不是一萬多就是九千多，懷疑老板報銷銷售費用可能有舞弊行為。對銷售費用的路橋費明細進行詳細審查，發現老板本人來報銷路橋費用以9為開頭的數字大部分發票票據來源來自于杭州的定額運輸發票，對應銷售情況來看，全年銷往杭州的收入為829 152.60元，而列示了運往杭州1 796 360.00元運輸費用，運輸費用遠大于銷售收入，這是不合常理的。經查詢，原來老板的兒子在杭州開有一零售皮革店面，是定額征收的，大部分是不開票銷售的，商品是從該皮革公司發出的，由杭州某運輸公司負責托運。由此可見，借助于奔福德數字定律可以幫助人們提供財務舞弊線索。
　　
　　五、奔福德定律在審計應用中注意事項
　　
　　審計中應用奔福德定律時需要注意以下幾點：一是注意運用這一定律的限制性條件，并不是所有的數據類型都適合奔福德定律。二是數據樣本要有足夠的量，樣本越大，結果越可靠。經驗表明，樣本量在10 000以上的數據一般與理論值吻合很好，在1 000至10 000之間吻合較好，在200至1 000之間差距較大，但也有相當參考意義，樣本量在200以下的，一般就不適用奔福德定律了。三是數據檢測的結果如果不符合奔福德定律的概率分布，只能說明存在財務舞弊的可能性，不能說明一定存在財務舞弊，因而審計人員還應以此為線索，追根尋源，查找舞弊存在的有力證據。四是如果數據檢測結果符合奔福德定律的概率分布，并不意味著一定不存在財務舞弊。尤其當數據總量非常大的時候，如果舞弊數據發生次數不多，它們就會淹沒在大樣本的規律之中。在大樣本的情況下，審計人員還應該考慮分層進行測試分析。分層進行測試的形式可以依企業不同情況進行分類，可以按企業的供貨商、購貨商進行分層，也可以根據不同購貨地區、銷售地區進行分層。這種分層測試均可以通過計算機的操作功能快速而方便地完成。●
　　
　　【參考文獻】
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　?。?］ 王福勝，李勛，孫遜.奔福德定律及其在審計中的應用研究［J］.財會通訊，2007（3）.
　?。?］ 張蘇彤，康智慧.信息時代舞弊審計新工具——奔福德定律及其來看中國上市公司的實證測試［J］.審計研究，2007（3）.