整體思想在解答求值問題中的應用

整體思想是從整體角度出發，分析條件與目標之間的結構關系，對應關系，相互聯系及變化規律，從而找出最優解題途徑的重要的數學思想.應用整體思想解題，可以使我們站得高，看得遠，想得透，用得巧，從而幫助我們從宏觀上去調控“已知”與“未知”的關系，進一步幫助我們開拓解題思路，本文主要談談整體代入、整體設元、整體變形在求值問題中的應用，供同學們在復習時參考.

一、整體代入

在解答求值問題中，往往涉及到多個變量，但是我們沒有必要分別求出各個量的具體值，這樣做比較繁瑣，而是將它們的某些關系看作為一個整體，達到順利而又簡捷地解決問題的目的.

例1． 在各項都為正數的等比數列{an}中，首項a1=3，a1+a2+a3=21，求a7+a8+a9的值.

分析：解答本題可以利用已知條件求出q，再分別求出a7，a8，a9即可，這樣運算量比較大，我們也可挖掘題目的隱含條件，利用通項公式的變形式子am＝anqm-n可得到a7+a8+a9=a1q6+a2q6+a3q6=q6（a1+a2+a3）.

解析：設公比為q，由題知a1=３，a１=a1q+a１q２＝２１，得q＝２或q＝－３<０（舍去)，所以a7+a8+a9=a1q6+a2q6+a3q6=q6（a1+a2+a3）=64×21=1344.

點評：本題主要考查整體代入在解題中的應用，在解體時能挖掘題目的條件，充分運用整體思想解題能起到簡化運算過程的作用. 一般地，an＝amqn-m，（m，n∈N*，m≠n）；ap#8226;aq=ap+k#8226;aq-k，（p，q，k∈N*）.解某些涉及若干量的求值解題時要有目標意識，將題中一些式子視作一個整體代入運算，可以避免一些復雜的運算.

二、整體設元

在解答求值問題中，往往巧設某一整體為輔助元或未知元，或將某未知元整體用另一些未知元整體代換，尋求解題思路.

例2． 已知2sin-cos=1，求的值.

分析：已知條件是一條含有兩個未知數sin，cos的方程，我們知道一條方程不能求出兩個未知數sin、cos，若再得到一個關于sin，cos的方程，通過兩個方程聯立我們可以求出sin，cos，所以我們考慮利用整體設元思想將所求部分變成方程的形式，即設t=，則有（1-t）sin+（1+t）cos=t-1，為此我們找到了解題思路.

解析：設t=，則有（1-t）sin+（1+t）cos=t-1，與已知條件2sin-cos=1聯立可得sin=，cos=，由（）2+（）2=1，解得t=0或t=2.

點評：解答本題巧妙運用整體設元策略， 整體設元是一種重要的解題方法，是解題關鍵性的一步，可以化難為易，幾乎每年的高考都要從不同的角度對其進行考查．應用整體思想解題，可以使我們站得高，看得遠，想得透，用得巧.

三、整體變形

在解答求值問題中，將條件等式看成一個整體，根據題目的特點進行適當變形，有助于解題順利進行.

例3． 求C111+C211+C311+C411+C511+C611+C711+C811+C911+C1011的值.

分析：若我們逐一利用組合數公式來求值可以求解，但是過程煩瑣、運算量大，挖掘題目的隱含條件，可以看到所求的值與二項式系數和有點相似，我們不妨利用整體思想先給原式添上C011與C1111，即得到 C011+C111+C211+C311+C411+C511+C611+C711+C811+C911+C1011+C1111=211，再減去C011與C1111，則題目就變得簡單了.

解析：C111+C211+C311+C411+C511+C611+C711+C811+C911+C1011=（C011+C111+C211+C311+C411+C511+C611+C711+C811+C911+C1011+C1111）－C011－C1111=211-2.

點評：本題還可以采用其他方法解答，而采用整體變形，溝通了“已知”與“未知”的聯系，從而優化了此題的解答.

小試牛刀：

1． 設{an}是公差為正數的等差數列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=45，求a2009+a2010+a2011的值.

2． 已知＝，且＋＝，求的值.

3． 設n為滿足C0n+C1n+2C2n+…+nCnn<450的最大自然數，求n值.

溫馨提示：

1． 解析：3a2=15，所以a2=5，（a2-d）a2（a2+d）=45，將a2=5代入，得d2=16，因為公差為正數，所以d=4，a2009+a2010+a2011=3a2010=3（a2+2008d）=24111.

2． 解析：設＝＝t，則sin=tm，cos=tn，且sin2+cos2=t2（m2+n2）=1，代入已知條件可得：+＝＝，即：+＝，設＝x，則x+=，解得：x=3或， ∴＝±或±.

3． 解析：令S=C0n+C1n+2C2n+…+nCnn……(1)

S=nCnn+（n-1）Cn-1n+（n-2）Cn-2n+…1C1n+0C0n……(2)

(1)+(2)得：2S=n（C0n+C1n+C2n+…+Cnn）=n#8226;２n，所以S=n#8226;２n-1.

令f（n）=n#8226;２n-1，則f（n）是增函數，因為f（7）=7×26=448，f（8）=8×27=1024，所以滿足不等式的最大自然數為7.

責任編校徐國堅