2010年高考不等式考點研析

不等式在高考中一直是考查的重點內容，以“實際為背景”，“函數為背景”的居多，不僅測試有關不等式的基礎知識、基本技能和基本方法，而且還測試運算能力、邏輯推理能力及分析問題、解決問題的能力．從內容上看，選擇、填空題主要以不等式的基本性質、不等式的解法、基本不等式的應用等知識為主，解答題主要以不等式與函數、數列、導數、解析幾何等知識交匯的問題為主，考查考生綜合數學知識和數學素養．本文以2010年高考中的不等式題目為例來分析一下不等式的題目類型及解決策略．

考點1：不等式的解法

例1 不等式>0的解集為（）

A．{x|x<-2，或x>3} B．{x|x<-2，或１

C．{x|-23}D．{x|-2

解析 不等式>0>0（x-3）（x+2）（x-1）>0，畫數軸易得原不等式的解集為（-2， 1）∪（3， +∞），選C．

點評 本題主要考查分式不等式和高次不等式的解法，考查數形結合思想．不等式的解法在每年的高考中幾乎都會涉及，一般是以分式不等式、指數不等式、對數不等式和絕對值不等式為主．

例2 不等式-x≤1的解集是．

解析 -x≤12x2+1≤（x+1）2，x+1≥00≤x≤2.

點評 本題主要考查根式（無理）不等式的解法，利用平方去掉根號是解根式不等式的基本思路，然后轉化成一次和二次不等式組，體現轉化與化歸的數學思想．

跟蹤練習：

（1）不等式>的解集是（）

A．（0，2）B．（-∞，0）

C．（2，+∞） D．（-∞，0）∪（０，+∞）

（2）不等式x-2>x-2的解集是（）

A．（-∞，2） B．（-∞，+∞）

C．（2，+∞）D．（-∞，２）∪（２，+∞）

（3）不等式＜0的解集為（）

A．{x|-2

C．{x|x<-2或x>3}D．{x|x>3}

（4）不等式>0的解集是．

（5）不等式>0的解集是 ．

答案：（1）A ；（2）A；（3）A；（4）（-4，2）；（5）{x|-22}.

考點2：基本不等式的應用

例3 設a>b>c>0，則2a2++-10ac+25c2的最小值是（）

A． 2B． 4C． 2D． 5

解析 因為a>b>c>0，所以有：2a2++-10ac+25c2=（a-5c）2+a2-ab+ab++=（a-5c）2+ab++a（a-b）+≥0＋2＋2＝4，

當且僅當a－5c＝0，ab＝1，a（a－b）＝1時等號成立，如取a＝，b＝，c＝滿足條件，選B．

點評 本題主要考查基本不等式的應用和非負數的性質．本題難點在于配湊，只要充分抓住基本不等式應用的三個條件：一正、二定、三等號，根據已知條件是很容易得出結論的．

例4 若正實數x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是.

解析 運用基本不等式，xy=2x+y+6≥2+6，令xy=t2，可得t2-2t-6≥0，注意到t＞0，解得t≥3，故xy的最小值為18．

點評 本題主要考察了用基本不等式解決最值問題的能力，以及換元思想和簡單一元二次不等式的解法，屬中檔題．

跟蹤練習：

（1）已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是（）

A． 3B． 4C． D．

（２）設a>b>c>0，則a2++的最小值是（ ）A． 1B． 2 C． 3D． 4

（3）已知x，y∈R+，且滿足+=1，則xy的最大值為．

（4）設實數x，y滿足3≤xy2≤8，4≤≤9，則的最大值是．

（5）已知t>0，則函數y=的最小值為．

答案：（1） B；（2） D； （3） 3；（4） 27；（5） －２.

考點3：不等式大小的比較

例5 設a=log32，b=ln2，c=5，則（）

A． a

解法 1 a=log32=，b=ln2=，而log23>log2e>1，所以a2=log24>log23，所以c

解法2 a=log32=，b=ln2=，1

點評 本題以指數、對數為載體，主要考查指數函數與對數函數的性質、實數大小的比較、換底公式、不等式中的倒數法則的應用等，比較大小一般利用作差法，但利用函數的單調性就更加方便了．

跟蹤練習：

（1）已知a1，a2∈（０，１），記Ｍ＝a1a2，Ｎ＝a1＋a2－１則Ｍ與Ｎ的大小關系是（）

A． Ｍ<ＮB． Ｍ>ＮC． Ｍ=ＮD． 不確定

答案：B.

考點4：恒成立問題

例6 若對任意x>0，≤a恒成立，則a的取值范圍是 ．

解析 因為x>0，所以x+≥2（當且僅當x=1時取等號），所以有=≤=，即的最大值為，故a≥．

點評 本題主要考查了分式不等式恒成立問題以及參數問題的求解，考查了轉化的數學思想等．

例7 設函數f（x）=x2-1，對任意x∈［，+∞），f（）-4m2f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，則實數m的取值范圍是．

解析 由題意知：-1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1+4（m2-1）在x∈［，+∞）上恒成立，-4m2≤--+1在x∈［，+∞）上恒成立，當x=時，函數y=--+1取得最小值-，所以-4m2≤-，即（3m2+1）（4m2-3）≥0，解得m≤-或m≥．

點評 本題主要考查函數中的恒成立問題，考查化歸與轉化的數學思想，難度稍大．

跟蹤練習：

（1）設函數f（x）=x-對任意x∈［1，+∞），f（mx）+mf（x）<0恒成立，則實數m的取值范圍是．

（2）若a>0，b>0，a+b=2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是(寫出所有正確命題的編號)．

① ab≤1；② +≤；③ a2+b2≥2；④ a3+b3≥3；⑤ +≥2.

答案：（1）（-∞，-1）；（2）①③⑤.

考點5：與集合相“交匯”的不等式問題

例8 設集合A＝{xx-a<1，x∈R}，B={xx-b>2，x∈R}．若ＡＢ，則實數a，b必滿足（）

A．a+b≤3B．a+b≥3

C．a-b≤3D．a-b≥3

解析 由題意可得：Ａ={x|a-1b+2，因為ＡＢ，所以有b-2≥a-1或b+2≤a-1，解得a-b≥3或a-b≤-3，即a-b≥3，選D．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法、集合之間的關系等基礎知識，考查數形結合的數學思想．

跟蹤練習：

（1）已知集合Ａ={x≤2，x∈R}}，B={x|≤4，x∈Z}，則A∩B（）

A．(0，2)B．[0，2]

C．（0，2]D．{0，1，2}

（2）設集合Ａ={xx－a<1，x∈R}，Ｂ={x1

A．{a|0≤a≤6}B．{a|a≤2，或a≥4}

C．{a|a≤０，或a≥６}D．{a|２≤a≤4}

（3）若集合Ａ={xx≤1}，Ｂ={xx≥0}，則A∩B=（）

A． {x|-1≤x≤1} B． {x|x≥0}

C．{x|0≤x≤-1} D．

答案：（1）D；(2)C；(3)C.

考點6：與常用邏輯相“交匯”的不等式問題

例9 命題“對任何”x∈R，x-2+x-4>3的否定是．

解析 存在x∈R，使得x-2+x-4≤3．

點評 本題主要考查常用邏輯用語，即對全稱命題的否定，屬于容易題．注意兩點：（1）全稱命題變為特稱命題；（2）只對結論進行否定．

例10 對于實數a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的（）

A． 充分不必要條件B． 必要不充分條件

C． 充要條件D． 既不充分也不必要條件

解析 當c=0時，a>b不能得ac2>bc2，但ac2>bc2a>b，故選B．

點評 本題主要借助充要條件考查不等式的性質．

跟蹤練習：

（1）“x>0”是“>0”成立的（）

A． 充分非必要條件B． 必要非充分條件

C． 非充分非必要條件D． 充要條件

（2）“a＞0”是“a＞0”的（）

Ａ． 充分不必要條件Ｂ． 必要不充分條件

Ｃ． 充分必要條件 Ｄ． 既不充分也不必要條件

（3）設0＜x＜，則“x sin2x＜1”是“x sinx＜1”的（）

Ａ． 充分不必要條件 Ｂ． 必要不充分條件

Ｃ． 充分必要條件Ｄ． 既不充分也不必要條件

（4）“m<”是“一元二次方程x2+x+m=0”有實數解的（）

A． 充分非必要條件 B． 充分必要條件

C． 必要非充分條件D． 非充分必要條件

答案：（1）A；（2）A；（3）B；（4）A.

考點7：不等式證明

例11 已知a，b，c均為正數，證明：a2+b2+c2+++2≥6，并確定a，b，c為何值時，等號成立．為何值時，等號成立．

證法1 因為a，b，c均為正數，由平均值不等式得：a2+b2+c2≥3（abc）……①

++≥（abc）………②

故a2+b2+c2+（++）2≥3（abc）（++）2≥9（abc）………②

故a2+b2+c2+（++）2≥3（abc）+9（abc）.

又3（abc）+9（abc）≥2=6………③

所以原不等式成立，當且僅當a=b=c時，①式和②式等號成立．當且僅當3（abc）+9（abc）時， ③式等號成立，即當且僅當a=b=c=3時，原式等號成立．

證法2 因為a，b，c均為正數，由基本不等式a2+b2≥2ab， b2+c2≥2bc， c2+a2≥2ac．

所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac………①

同理++≥++………②

故a2+b2+c2+（++）2≥ab+bc+ac+3+3+3≥6………③

所以原不等式成立，當且僅當a=b=c時，①式和②式等號成立，當且僅當a=b=c，(ab)2=(bc)2=(ac)2=3時，③式等號成立，即當且僅當a=b=c=3時，原式等號成立．

點評 本題主要考查用基本不等式證明不等式的問題，考查基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力．

考點8：不等式與函數“交匯”的綜合問題

例12 已知函數 f（x）=（x+1）lnx-x+1．

（Ⅰ）若 x f′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范圍；

（Ⅱ）證明：（x-1）f（x）≥0 ．

解析 （Ⅰ）f′（x）=+lnx-1=lnx+，x f′（x）=xlnx+1，

題設x f′（x）≤x2+ax+1等價于lnx-x≤a，令g（x）=lnx-x，則g′（x）=-1．當0＜x＜1，g′（x）＞0；當x≥1時，g′（x）≤0，x=1是g（x）的最大值點，g（x）≤g（1）=-1．

綜上，a的取值范圍是[-1，+∞）．

（Ⅱ）有（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1即lnx-x+1≤0．

當0

當x1時 ，ｆ(x)=lnx+(xlnx-x+1)=lnx+x(lnx+-1)=lnx-x(ln-+1)0，

所以（x-1）ｆ（x）0．

點評本題主要考查函數、導數、不等式證明等知識，通過運用導數知識解決函數、不等式問題，考查了考生綜合運用數學知識解決問題的能力以及計算能力，同時也考查了函數與方程思想、化歸與轉化思想．

跟蹤練習：

（1）設函數f（x）=logx， x>0log(-x)， x<0若f（a）>f（-a），則實數a的取值范圍是（ ）

A． （-1，0）∪（0，1） B．（-∞，-1）∪（1，+∞）

C． （-1，0）∪（1，+∞） D．（-∞，-1）∪（0，1）

（2）設偶函數f（x）=滿足 f（x）=x3-8(x0)，則x｜f（x-2）>0= （ ）

A． x｜x<-2或x>4B.x｜x<0或x>4

C． x｜x<0或x>6D．x｜x<-2或x>2

（3）已知函數f（x）=｜lgx｜. 若a≠b且， f（a）=f（b），則a+b的取值范圍是( )

A． (1，+∞)B． ［1，+∞) C． (2，+∞) D．［2，+∞)

答案：（1）C；（2）B；（3）C.

責任編校 徐國堅