活用配湊技巧,點撥三角變換

1． 前言.

題海無涯，回頭是岸．不少同學埋怨復習效率不高，做了很多試題考試還是不理想，要想從茫茫題海中解放出來，就得對典型試題進行深入剖析．在日常解題中通過恰當的配與湊，會使問題簡潔明了，從而達到問題的快速解決．一般來說，解題中的配與湊是相對的，互為補充的．有時一次適當的配與湊，會使人茅塞頓開，豁然開朗，使解題一蹴而就，事半功倍，給人以賞心悅目，沁人心脾的美感．三角問題中有許多問題歸納起來，最典型的就是求值型，化簡型，證明型三大類問題，而這三大類問題最典型的共同特征就是要進行恒等變換，而恒等變換中如果穿插著配與湊的確能收到出奇制勝的效果．

2． 問題回放.

問題：求值：sin220°+cos250°+sin20°cos50°．

這是一道非常傳統的三角求值題，早在上個世紀高考就曾經多次考過類似的題目，而且本題有很多個版本的變式，雖然形式各不相同，但解法大同小異．本題的常規解法如下：

原式=++（sin70°-sin30°）

=+-×+（cos100°-cos40°）+sin70°

=+#8226;（-2sin70°sin30°）+sin70°

=-sin70°+sin70°

=．

點評：通常情況下，按常規鑰匙的套路，都會這么做，也符合三角問題的習慣思維．不足之處是新的課程標準實施后，積化和差與和差化積公式在教材中的地位由掌握變為了解，多數同學并不熟悉這兩組公式，即使知道這兩組公式也難做到反復多次靈活運用，所以我們不能套型，同學們用上述方法做，下面我們通過配與湊談談本題的開發價值．

3． 對角配湊.

本題中涉及了兩個一般角，20°與50°雖然它們不是特殊角，但50°-20°=30°是特殊角因此cos50°=cos（30°+20°）=cos20°-sin20°．

∴ 原式=sin220°+（cos20°-sin20°）2+sin20°（cos20°-sin20°）

=sin220°+cos220°-sin20°cos20°+sin220°+sin20°cos20°-sin220°

=sin220°+cos220°

=．

點評：這種方法通過配湊角使問題得以解決，可以類比到其它很多問題上．比如求值：，已知可把10°寫為30°-20°，也可以把20°寫成30°-10°，其好處在于可以推出一般性的結論，比如sin2?茲+cos2（?茲+30°）+sin?茲cos（?茲+30°）=；=（?茲≠k#8226;180°-60°，k∈Z）等等．

4． 對函數名稱配湊.

數學式子的美感有時體現在對稱上，比如上與下，左與右，前與后，正與負，數與形既是對立的又是統一的，解題時注重對函數名稱進行配湊也是很好的方法，比如sin2?琢+cos2?琢=1，說明正弦、余弦的和諧與統一，配湊后可以使結構非常漂亮．

設：a=sin220°+cos250°+sin20°cos50°，

b=cos220°+sin250°+cos20°sin50°．

則a+b=2+sin70°，

a-b=cos100°-cos40°-sin30°

=-2sin70°sin30°-

=-sin70°-.

∴ 2a=2-=， ∴ a=即為所求．

點評：這種訪求也可以推廣到三角的其它問題，例如求值：①cos20°cos40°cos60°cos80°；②sin10°sin30°sin50°sin70°；③cos12°cos24°cos48°cos96°等等從本質結構上看都是一樣的只是結構不同而已，是可以通過結構配湊來解決的．

5． 對結構配湊.

很多數學公式都有其典型的結構特點，比如斜率公式與分式結構，兩點間距離公式與無理式結構有著密切的聯系，三角版塊中用正弦定理，余弦定理進行三角形的邊角轉換使得許多問題得以輕松解決，正弦定理、余弦定理也具有典型的特點．

設原式 a2=sin220°+sin240°+sin20°sin40°

=sin220°+sin240°-2sin20°sin40°cos120°.

這個式子與a2=b2+c2-2bccosA驚人的相似，可以構造一個△ABC使B=20°、C=40°、A=120°．由正弦定理只要△ABC外接圓直徑2R=1即可，由余弦定理a2即為原式，由正弦定理a=2Rsin120°＝，∴ 原式a2=（）2=．

點評：這種方法體現了三角函數的靈活性，也避開了三角函數的和差化積與積化和差，構造了一個圖形，使代數問題用幾何方法解決，同時訓練了同學們數形結合的能力．

6． 對公式配湊.

最普遍最常用的特殊角莫過于30°、45°、60°等，無論是20°，還是50°，它們的3倍60°、150°均為常用特殊角，因此我們可以考慮用配湊三倍角公式解決問題．

∴ sin60°=3sin20°-4sin320°，

cos150°=4cos350°-3cos50°．

兩邊相加得：

3（sin20°-cos50°）-4（sin320°-cos350°）

=sin60°+cos150°=0．

又∵sin20°-cos50°≠0，

∴ 3-4（sin220°+sin20°cos50°+cos250°）=0．

即原式=sin220°+cos250°+sin20°cos50°＝．

點評：這種方法可以讓同學們進行了解，因為三倍角公式不要求考生熟練掌握，配湊立方差公式解決題的確很巧妙也符合三角變換的問題鏈的要求．

7． 結束語.

高考對三角部分的要求既很基礎，又很關鍵，為此我們要善于觀察，善于反思，善于總結，及時捕捉解題信息，適當進行配湊不僅為我們解題提供捷徑．而且也可以給解題帶來生機與活力，老師在教學過程中恰如其分地配湊，在已知與未知之間架起一座橋梁，既能提高課堂效率，增添課堂的情趣，又能彰顯數學之美．

責任編校 徐國堅