一道數列試題的有意義解題

在歷年的教學中，總能遇到同學們相同的問詢：為什么自己平時遠比其他同學做題多很多，可自己的解題能力卻還是上不去呢？這句話道出了許多有非常強愿望、更有非常強實際行動想提高自己解題能力，且對于解題可謂任勞任怨的同學們的既恨且無奈的心聲．其實，如果仔細觀察這些同學的解題過程，我們可以發現他們都是被動地解題（機械化解題），僅是解題的“機器”，是為了從完成一道題到完成另一道題，是為了完成“任務”，從來沒有對自己解的題和自己的解題過程進行仔細、深入的研究和反思．因此，實施的解題是低效的，甚至是無效的！“題海戰術”確實能提高解題能力，但是是以犧牲大量的時間和精力為前提，而且是短暫和有限的！毫無疑問是一種應該被摒棄的解題策略，應該用一種既省時又省力，即不用做許多題就能提升解題能力的解題方法來替代，我們把它稱為“有意義解題”（注：取自奧蘇貝爾有意義學習）．

所謂“有意義解題”，是指在實施解題后對題目中的條件、解題過程中表現出來的基本程式及要注意到的問題等展開一系列的聯想、回顧、反思，從而以點帶面地進行滾動復習，從知識、技能、方法的全方位、高頻率的刺激中達到高效的復習效果．下面我們通過一道數列試題具體來介紹“有意義解題”．

案例：已知a1=1，an+1=pan-n-1（p∈R，n∈N*）．（I）當p=1時，求數列{an}的通項公式；（II）設bn=an-n-2，若數列{bn}為等比數列，求p的值．

分析：應該說本題是不難的，同學們基本都能解答，一般的解答如下．

（I）當p=1時，an+1-an=-n-1，所以a2-a1=-2，a3-a2=-3，…，an-an-1=-n，故an-a1=-（2+3+…+n）=-，則an=．

（II）因為數列{bn}為等比數列，所以==為常數，故p=2．

剖析：通常做完上述工作后，大部分同學就完事了，一小部分同學還會去檢查自己的解答過程是否正確，是否還有需要完善的地方，這部分同學就能檢查出根據an+1-an=-n-1得到an-an+1=-n時，需要有n≥2，從而在第（I）問的最后還需要對n=1進行檢驗，因為當n=1時，a1==1，滿足，所以an=.很少有同學還會去思考問題是否還有更好的解法或者別的解法，這些同學可能就能想到第（II）問的“利用必要條件思想”解題的方法，即因為數列{bn}為等比數列，所以b1、b2、b3是等比數列，而b1=a1-1-2=-2，b2=a2-2-2=p-6，b3=a3-3-2=p2-2p-8，故（p-6）２＝－２（p2-2p-8），解得p=2或p=，當然，至此后，這些同學基本也認為萬事大吉了，不會再有下面的檢驗工作，從而出現了增根p=.很少有同學會對上述題目和解題過程進行“有意義的聯想和反思”，也就是本文想與同學們介紹的解題習慣——有意義解題．

有意義解題1：當時p=1，an+1-an=-n-1，我們用“累加求和法”求得了通項an，從數列求和方法這個點我們可以復習數列求和的方法有哪些？適用的特征和操作的步驟如何？于是可以復習到：

A． 公式法：如果一個數列是等差數列或等比數列，則這個數列可以用公式求和.

B． 倒序相加法：這是在推導等差數列前n項和公式時所用的方法，也就是將一個數列倒過來排列，當它與原來數列相加時，若有公因式可提出，并且剩余項的和易于求得，則這樣的數列可用倒序相加法求和.

C． 錯位相減法：這是在推導等比數列前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列{an#8226;bn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別是等差數列和等比數列.

D． 分組求和法：有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，但若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見數列，可先分別求和，然后再合并.

E． 拆項、裂項法：利用解析式變形，將一個數列分成若干個可以直接求和的數列，即進行拆項重組，或將通項分裂成兩項或多項的差，通過相加過程中的互相抵消，最后只剩下有限項的和.

F． 累加求和（積）法：如果有遞推關系an+1-an=f（n）（或=g（n））且f（n）的和（或g（n）的積）易求，則可以累加求和（積）法．

有意義解題2：當p=1時，an+1-an=-n-1，這是數列遞推關系的一種，從數列遞推關系這個點我們可以復習數列基本遞推關系有哪些？如何破解？于是可以復習到：

A． an與Sn的關系型：當題中有關于Sn的等式或an與Sn的等式時，通常用an與Sn的關系an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2來解決，基本思想是列兩個方程作差．

B． Aan=Ban-1+C型：通過變型為A（an+）=B（an+1+），構造新數列{an+}為等比數列解決．

C． Aan=型：通過取倒數變型為=，進一步得#8226;=+，于是轉化為B型了．

D． an+1-an=f（n）（或=g（n））且f（n）的和（或g（n）的積）易求型：累加求和（積）法．

有意義解題3：在第（I）問的累加求和方法中，需要對n=1的情況進行驗證，從驗證這個點我們可以復習數列中需要驗證的還有什么？于是可以復習到用an與Sn的關系求an時也需要驗證n=1的情況．

有意義解題4：在第（II）問中有“等比數列”4個字，從證明及條件這個點我們可以復習等比數列的基本證明方法及作為條件如何運用？若是等差數列則又如何？如何證明不是等差數列和不是等比數列呢？于是可以復習到用為常數來證明數列是等比數列，用an+1-an為常數來證明數列是等差數列，若數列是等比數列則為常數，b1、b2、b3成等比，若數列是等差數列則an+1-an為常數，a1、a2、a3成等差，用舉反例來說明不是等差數列或不是等比數列．

有意義解題5：在第（II）問若用必要條件來求p值，則可以從必要條件解題這個點復習常見必要條件解題的類型有哪些？于是可以復習到常見必要條件解題的類型有：若f ′（x0）=0，則x=x0是極值點；若函數f（x）是R上的奇函數，則f（0）=0；若函數f（x）具有奇偶性，則f（x）的定義域關于原點對稱；…并且必須檢驗．

通過上面的案例分析，同學們可以看出，“有意義解題”并不是單純的“解題反思”（一般的解題反思僅是反思問題的解法是否正確？能否用別的解法求解？是否可以得到一般性的結論？問題可以進行哪些變式研究？等），它是在解題反思的基礎上進行的一種有意義的聯想，即只要與題中的信息有聯系的就進行復習回顧，從而實現知識、技能、方法的頻繁復習，從而達到薄——厚——薄（華羅庚語：“一本書，當未讀之前，你感到就是那么厚；在讀的過程中，如果你對各章各節又作深入的探討，在每頁上加添注解，補充參考材料，那就會覺得更厚了．但是，當我們對書的內容真正有了透徹的了解，抓住了全書的要點，掌握了全書的精神實質后，就會感到書本變薄了．愈是懂得透徹，就愈有薄的感覺．這是每個科學家都要經歷的過程．這樣，并不是學的知識變少了，而是把知識消化了．”）的學習狀態．當然，在具體采用這種解題策略時同學們特別需要注意堅持.

習慣是指行為多次重復后的結果，一種相對固定的行為模式．這就要求同學們不能是心血來潮，偶爾為之，當然也不能“三天打魚二天曬網”，有意義解題的形成需要堅持，因為它需要比較長的時間來重復實踐才能成為同學們解題的一種自覺行為．另外，養成有意義解題的習慣會遇到許多困難．開始實踐時，同學們會因為知識、操作的熟練程度等的因素，得不到或者無法找到有意義解題的內容（此時也可以尋求老師的幫助），但只要同學們堅持下去，定能收獲“從無到有”“從少到多”的喜悅！

相信同學們學習有意義解題后，必能從“題海”中跳出來，并能感覺到數學學習的樂趣！同學們，你還等什么呢？不妨趕緊試一試！

一試身手：已知點P1（a1，b1），P2（a2，b2），...，Pn（an，bn）（n∈N*）都在函數y=logx的圖像上．

（1）若數列{bn}是等差數列，求證數列{an}是等比數列；

（2）若數列{an}的前n項和為Sn=1-2-n，過點Pn，Pn+1的直線與兩坐標軸所圍成三角形面積為cn，求cn≤t對n∈N*恒成立的實數t的取值范圍．

供你參考：（1）因為點Pn（an，bn）（n∈N*）在函數y=logx的圖像上，所以bn=logan，即an＝（）．又因為數列{bn}是等差數列，不妨設公差為d，則==（）=（）為常數，故數列{an}是等比數列．

有意義解題1：等比數列證明的方法一般有哪些？具體的步驟是怎樣的？等差數列呢？

（2）由數列{an}的前n項和為Sn=1-2-n，得an=Sn-Sn-1=1-2-n-1+2-n+1=2-n（n≥2），又a1=S1=1-2-1=，所以an=2-n．

有意義解題2：由an與Sn的關系求數列通項公式時，一定要注意n≥2并對n=1進行檢驗．要注意類似地問題還有哪些？

因為bn=logan=n，所以k===-2n+1，故直線PnPn+1方程為y-n=-2n+1（x-2-n），令x=0得y=n+2；令y=0得x=.所以過點Pn，Pn+1的直線與兩坐標軸所圍成三角形面積為cn=×（n+2）×＝．

有意義解題3：如何求經過兩點的直線方程？如何求直線與兩坐標軸圍成的三角形面積？如何求直線與坐標的并點？例如2010年江蘇高考第8題：函數y=x2（x>0）的圖像在點（ak，a2k）處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak+1，其中k∈N*，a1=16，則a1+a3+a5的值是_________（21）．

因為cn+1-cn=-＝，n∈N*，所以cn+1-cn≤0恒成立，即數列{cn}是遞減的，因此，數列{cn}的最大項為c1=．

有意義解題4：如何判斷數列是遞增或遞減的？如何求一個數列中的最大項或最小項？

因為cn≤t對n∈N*恒成立，所以t≥cn的最大值，故t≥．

有意義解題5：恒成立問題的常用解決方法有哪些？能解這題嗎？已知函數y=（a為常數，且a<0）在區間（-∞，1]上有意義，求實數a的取值范圍．

簡析：（法1）ax+1≥0對（-∞，1]恒成立，所以當x<0時，則a≤-，a<0，當x=0時a∈R，當0

（法2）由ax+1≥0得a≥-，故函數的定義域為[-，+∞)，所以（-∞，1]?哿[-，+∞)，得1≤-，解得-1≤a<0．

責任編校徐國堅